Durchbiegung

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Als Durchbiegung von Tragwerken wird der orthogonale Anteil des Versatzes der verformten Lage zur unverformten Lage bezeichnet. Ihre Größe hängt im linear elastischen Bereich von der Belastung, und der Steifigkeit des Gegenstandes ab und damit von der Form und Größe seines Querschnitts sowie der Elastizitätsmodul seines Materials. Einfluss haben im Allgemeinen auch die Auflagerrandbedigungen.

Für längliche Gegenstände wie Balken oder Stäbe lässt sich die Durchbiegung im elastischen Bereich mit Hilfe der Balkentheorie leicht berechnen, wenn die Belastung und die Biegesteifigkeit bekannt sind. Die Verformung wird dann durch die Biegelinie dargestellt, die den Weg angibt, um den sich ein Punkt des Balkens bei der Verformung orthogonal zur Stabachse bewegt (x ist eine Laufvariable des Stabachsenkoordinatensystems, vereinfacht gesagt: die Position auf dem Balken).

Wenn man eine vernachlässigbare Biegesteifigkeit nicht berücksichtigt, z. B. bei Drähten zwischen Tragmasten, nimmt die Stabachse unter Eigengewicht eines konstanten Gravitationsfeldes mit konstanter Massenverteilung je verformter Stabachsenlänge eine Kettenlinie an.

Durchbiegung von Balken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erste Biegetheorie stammt von Galilei (1564–1642). Weiter ausgebaut wurde sie v. a. durch das Hookesche Gesetz (1678) sowie im 17. und 18. Jahrhundert durch Forschungen von Jakob I Bernoulli, Leonhard Euler und Claude Navier.

Unter der Annahme, dass y und z die Hauptträgheitsachsen sind und dass

 [1]

gilt :

 [1][2]

mit

  • eingeprägte Krümmung (z. B. zufolge Temperaturdifferenz)
  • Schubdeformationen zufolge Querkraft
  • (unter Annahme der Balkentheorie)
mit

Für die Biegelinie eines hinreichend elastischen, schlanken Bauteiles mit konstantem Querschnitt lautet eine oft verwendete Näherungsformel der Krümmung w" (math. Ableitung des Steigungswinkels w' in der vertikalen xz-Bildebene) für Betragsmäßig kleine Steigungswinkel w'≈0, unter ausschließlicher Momentenbelastung:

Die eigentlich gesuchte Durchbiegung w erhält man durch zweimalige Integration der Krümmung unter Berücksichtigung der Rand- und Übergangsbedingungen (u. a.: keine Durchbiegung/Verdrehung an den Lagerstellen, d. h. z. B. ).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Balken unter Mittellast

Wirkt die Kraft F mittig (halbe Stablänge L/2), so ist dort das Biegemoment am größten und damit auch die Stabkrümmung (Erläuterung hier).

Für 0≤x≤l/2 unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):

damit folgt unter Berücksichtigung der Übergangs- und Randbedingungen des gesamten Stabes für 0≤x≤l/2:

und somit für l/2:


Wirkt eine konstante Liniengleichlast (q in N/m)[3] auf einen Träger auf zwei Stützen mit konstanten Querschnittseigenschaften gilt:

ergibt für x=l/2:

mit der Schubsteifigkeit

Durchbiegung von Kreisflächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei flächenhafter Ausdehnung des Gegenstandes wird die Berechnung recht kompliziert, lässt sich aber bei Kreisflächen – etwa für Membranen (z. B. Lautsprecher) oder große Linsen (z. B. Fernrohrobjektive) – ebenfalls abschätzen.

Hat die Membran eine nur geringfügige Dicke d, so folgen die Biegemomente einer radialen bzw. tangentialen Differentialgleichung. Die Biegelinie der Kreismembran erfordert aber eine zusammengesetzte Differentialformel, die bei einer Querkraft Q genähert lautet:

mit

  • Widerstandsmoment

Komplexere Fälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Solange ein Gegenstand sich auf einer dimensionalen Ebene mit Querschnittseigenschaften/Plattenerzeugendeneingenschaften eindeutig abbildbar ist und homogen, orthotrop und linear elastisch aufgebaut ist, bietet die analytische Mechanik Lösungsmöglichkeiten auch für andere regelmäßige Formen (Airy’sche Spannungsfunktion). Auch Fälle mit unterschiedlichen Materialien sind genähert lösbar, wenn ihre Verbindungsstellen mechanisch klar definiert sind, z. B. bei axialer Anordnung.

Komplexere Formen sind jedoch nicht streng berechenbar. Sie werden oftmals durch Biegeversuche im Labor oder mathematisch-physikalisch durch Zerlegung in netzartige Teile (v. a. Finite-Elemente-Methoden) untersucht. Für Beton gibt es für die Baupraxis ausreichend genaue Annahmen um es im sogenannten ungerissenen Bereich (der Mikrorisse beinhaltet, jedoch keine Makrorisse enthält) als verschmiert homogenes Material betrachten zu können.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b H. Mang, G Hofstetter: Festigkeitslehre. Springer Verlag, WienNewYork 2008 (3.Auflage), ISBN 978-3-211-72453-8, S. 176; 249
  2. Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO - LVA-Nr 202.065. Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien, TU Verlag (Memento des Originals vom 13. März 2016 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/shop.tuverlag.at Wien 2016 ISBN 9783903024175 Kapitel 2.7.1 Queranteile und 10.2 Ausgewählte Lastglieder für die Queranteile
  3. Tobias Renno: www.statik-lernen.de. Abgerufen am 23. August 2017.