Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele

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Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele (EF-Spiele) sind eine Beweistechnik der Modelltheorie. Durch EF-Spiele lässt sich die Äquivalenz zweier Strukturen zeigen bzw. widerlegen. Strukturen dienen in der beschreibenden Komplexitätstheorie meist als Formalismus zur Beschreibung von Objekten wie Wörtern oder Graphen. Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele liefern so ein Hilfsmittel zum Beweisen von unteren Schranken, also zum Beweis, dass sich eine gegebene Klasse von Strukturen nicht durch eine bestimmte Logik ausdrücken lässt.

Entwickelt wurden sie von Andrzej Ehrenfeucht auf Grundlage der theoretischen Arbeit des Mathematikers Roland Fraïssé.

Ein EF-Spiel wird von zwei Spielern gespielt, gewöhnlich bezeichnet mit Spoiler und Duplicator (nach Joel Spencer) oder Samson und Delilah (nach Neil Immerman).[1]

Bezeichnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei eine Struktur. Dann bezeichne das entsprechende Universum (Grundmenge, Trägermenge).
  • STRUKT[σ] bezeichne die Menge aller endlichen Strukturen der Signatur σ.

Das n-Runden-EF-Spiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele in ihrer herkömmlichen Form haben einen engen Bezug zu Logiken erster Stufe. Diese Grundform ist wie folgt definiert.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien

zwei Strukturen der gleichen Signatur,
.

Ein n-Runden-Spiel wird auf den Interpretationen definiert:

Das EF-Spiel hat n Runden, die Ausgangsmenge ist ;
  • in jeder Runde i (i<n) wählt zunächst Samson ein beliebiges oder ein , welches noch nicht zuvor gewählt wurde
  • falls Samson ein Element aus gewählt hat, wählt daraufhin Delilah auf dieselbe Weise ein beliebiges , sonst ein
  • das resultierende Tupel wird zur Ausgangsmenge hinzugefügt.
Nach n Runden resultiert eine Menge von 2-Tupeln .
  • Falls durch diese Menge ein partieller Isomorphismus definiert wird, hat Delilah gewonnen, ansonsten hat Samson gewonnen.
Per Definition gewinnt Delilah das Spiel , falls sie eine zwingende Gewinnstrategie hat.

Oft gilt ; man schreibt und die Ausgangsmenge ist leer.

Eigenschaften von EF-Spielen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Strukturen sind -äquivalent, Delilah gewinnt .

Dabei nennt man zwei Strukturen und -äquivalent, in Zeichen , wenn und dieselben Sätze der Prädikatenlogik erster Stufe erfüllen, deren Verschachtelungstiefe von All- und Existenzquantoren höchstens ist.

Korollar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Delilah gewinnt für alle und sind elementar äquivalent.

Beweisen von unteren Schranken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um zu beweisen, dass eine Menge nicht durch -Formeln definiert werden kann, genügt es zu zeigen, dass es für jedes n ∈  zwei Strukturen und gibt, so dass Delilah eine Gewinnstrategie für hat.

EF-Spiele für die Prädikatenlogik zweiter Stufe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele können relativ problemlos auf Logiken zweiter Stufe erweitert werden. Das Beweisen von Gewinnstrategien wird hierbei jedoch deutlich schwieriger. Eine eingeschränkte Variante sind Spiele für die existentielle Prädikatenlogik zweiter Stufe spielt durch die Charakterisierung der Komplexitätsklasse NP eine wichtige Rolle in der beschreibenden Komplexitätstheorie, siehe dazu auch Satz von Fagin.

Beschränkt man die -Logik weiter auf monadische Prädikate , so ist diese Version der EF-Spiele äquivalent zu den Ajtai-Fagin-Spielen.[2]

SO∃-Spiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien

zwei Strukturen der gleichen Signatur

die Eingaben für ein -Spiel.

  • Samson wählt die Prädikate der Stelligkeit über
  • Delilah wählt daraufhin die Prädikate der Stelligkeit über
  • Auf der beiden erweiterten Strukturen wird schließlich das Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel gespielt.

Bei -Spielen (Beschränkung auf monadische Prädikate) gilt für alle .

Ajtai-Fagin-Spiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ajtai-Fagin-Spiele sind in dem Sinne äquivalent zu den MSO∃-Spielen, als dass Delilah das Ajtai-Fagin-Spiel auf einer Menge genau dann gewinnt, wenn es für jedes und jedes zwei Strukturen und gibt, so dass sie das entsprechende -Spiel gewinnt. Ajtai-Fagin-Spiele sind jedoch formal leichter handhabbar als -Spiele.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Ajtai-Fagin-Spiel wird auf einer Menge von Strukturen gespielt:

  • Zuerst wählt Samson zwei Zahlen
  • Delilah wählt daraufhin eine Struktur
  • Samson wählt die monadischen Prädikate über
  • Delilah wählt nun eine weitere Struktur sowie die monadischen Prädikate über
  • Nun wird auf den beiden erweiterten Strukturen das Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel gespielt

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei . Dann gewinnt Delilah das Ajtai-Fagin-Spiel auf genau dann, wenn nicht durch -Logik definierbar ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Stanford Encyclopedia of Philosophy, Logic and Games.
  2. Neil Immerman: Descriptive Complexity. Springer, 1999, ISBN 978-0387986005.