Eigentliche Abbildung

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Eine eigentliche Abbildung ist eine stetige Abbildung, die in der mengentheoretischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht wird.

Definitionen[Bearbeiten]

Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert von Autor zu Autor. Hier werden deshalb zwei gebräuchliche Definitionen vorgestellt.

Eine weitere und allgemeinere Definition ist:

Die zweite Definition ist äquivalent zur ersten, wenn X ein Hausdorff-Raum und Y ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, das heißt, das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.
  • Die Einschränkung f|A: A\to Y eigentlicher Abbildung f: X\to Y auf einen abgeschlossen Unterraum A\subseteq X ist immer eigentlich.
  • Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der Kategorie der stetigen Funktionen.
  • Sind X_1, X_2, Y_1, Y_2 topologische Räume und sind f_1: X_1\to Y_1, f_2: X_2\to Y_2 eigentliche Abbildungen, so ist f_1\times f_2: X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2 wieder eine eigentliche Abbildung.
  • Ist f: X\to Y eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist B\subseteq Y kompakt, so ist f^{-1}(B) kompakt in X.
  • Ist X ein kompakter Raum und Y ein beliebiger topologischer Raum und X\times Y das topologische Produkt, dann ist die Projektion \pi_Y: X\times Y\to Y, (x,y)\mapsto y eine eigentliche Abbildung.

Anwendungen[Bearbeiten]

Eigentliche Abbildungen liefern ein Kriterium für die Kompaktheit eines topologischen Raumes: Sei P ein einelementiger topologischer Raum mit der einzigen existierenden Topologie. Dann gilt: Ein topologischer Raum X ist dann und nur dann kompakt, wenn die konstante Abbildung p: X\to P eigentlich ist. Hieraus folgen die letzten beiden genannten Eigenschaften.

Literatur[Bearbeiten]

  • Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4.
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (Berliner Studienreihe zur Mathematik 15).
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).