Eigentliche Abbildung

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Eine eigentliche Abbildung ist eine stetige Abbildung, die in der mengentheoretischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht wird.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert von Autor zu Autor. Hier werden deshalb zwei gebräuchliche Definitionen vorgestellt.

Eine weitere und allgemeinere Definition ist:

  • Eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen heißt eigentlich, genau dann wenn für jeden beliebigen topologischen Raum Z die Abbildung abgeschlossen ist.

Die zweite Definition ist äquivalent zur ersten, wenn X ein Hausdorff-Raum und Y ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, das heißt, das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.
  • Die Einschränkung eigentlicher Abbildung auf einen abgeschlossen Unterraum ist immer eigentlich.
  • Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der Kategorie der stetigen Funktionen.
  • Sind topologische Räume und sind eigentliche Abbildungen, so ist wieder eine eigentliche Abbildung.
  • Ist eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist kompakt, so ist kompakt in .
  • Ist ein kompakter Raum und ein beliebiger topologischer Raum und das topologische Produkt, dann ist die Projektion eine eigentliche Abbildung.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigentliche Abbildungen liefern ein Kriterium für die Kompaktheit eines topologischen Raumes: Sei ein einelementiger topologischer Raum mit der einzigen existierenden Topologie. Dann gilt: Ein topologischer Raum ist dann und nur dann kompakt, wenn die konstante Abbildung eigentlich ist. Hieraus folgen die letzten beiden genannten Eigenschaften.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4.
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.