Einfache Gruppe (Mathematik)

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Eine einfache Gruppe ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra. Es wird insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet.

Jede Gruppe hat sich selbst und das neutrale Element als Normalteiler. Es stellt sich daher die Frage, welche Gruppen weitere beziehungsweise keine weiteren Normalteiler besitzen. Die einfachen Gruppen sind per definitionem genau diese, die nur die zwei genannten Normalteiler besitzen.

Definition[Bearbeiten]

Eine Gruppe G heißt einfach, falls sie als Normalteiler nur G und \{e\} mit dem neutralen Element e hat. Oft wird zusätzlich G \neq \{e\} gefordert.[1]

Endliche einfache Gruppen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Endliche einfache Gruppe

Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie als „Grundbausteine“ der endlichen Gruppen, da sich jede endliche Gruppe in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren lässt. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert, die Liste besteht aus

Unendliche einfache Gruppen[Bearbeiten]

Beispiel

Die unendliche alternierende Gruppe A_\infty , d. i. die Gruppe der geraden Permutationen der natürlichen Zahlen, ist einfach. Diese Gruppe kann konstruiert werden als direkter Limes aller A_n unter den Standardeinbettungen A_n\to A_{n+1}.

Einfache Lie-Gruppen[Bearbeiten]

Abweichend von der in der Gruppentheorie üblichen obigen Definition bezeichnet man in der Theorie der Lie-Gruppen (nicht zu verwechseln mit obigen Gruppen vom Lie-Typ) eine Lie-Gruppe als einfach, wenn ihre Lie-Algebra eine einfache Lie-Algebra ist. Dies ist äquivalent zu der Bedingung, dass alle echten Normalteiler diskrete Untergruppen sind. Beispielsweise ist SL(2,R) eine einfache Gruppe im Sinne der Lie-Gruppen-Theorie, hat aber den Normalteiler \left\{\pm 1\right\}. Der Quotient PSL(2,\mathbb R)=SL(2,\mathbb R)/\left\{\pm 1\right\} ist eine einfache Gruppe auch im Sinne der in der Gruppentheorie üblichen Definition.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  John D. Dixon: Problems in group theory. Dover Publications, Mineola, N.Y. 2007, ISBN 978-0-486-45916-5, S. xv.