Einheits-Tangentialbündel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik bezeichnet das Einheits-Tangentialbündel den Raum aller Tangentialvektoren der Länge 1 zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit, zum Beispiel zu einer Fläche im . Der Begriff spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und der Theorie der dynamischen Systeme.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ihr Tangentialbündel. Das Einheits-Tangentialbündel ist

In der englisch-sprachigen Literatur wird das Einheits-Tangentialbündel häufig auch mit bezeichnet.

Topologische Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Einheits-Tangentialbündel ist ein Sphärenbündel über also insbesondere auch ein Faserbündel. Die Fasern sind -dimensionale Sphären für .

ist eine -dimensionale Mannigfaltigkeit. Sie ist genau dann kompakt, wenn kompakt ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist diffeomorph zu .
  • ist diffeomorph zum 3-Torus.

Liouville-Maß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf ist eine kanonische 1-Form definiert durch

wobei die Projektion bezeichnet.

Die -Form ist eine Volumenform und definiert ein Maß auf , das Liouville-Maß.

und das Liouville-Maß sind invariant unter dem geodätischen Fluss.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]