Einschnürungssatz

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Der Einschnürungssatz, Einschließungssatz, Dreifolgensatz oder Sandwichsatz (u. a.: Schachtelungssatz, Quetschlemma resp. Satz von den zwei Polizisten; englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Funktionen „eingezwängt“ wird, auch gegen diesen Wert.

Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. Er wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxos verwendet, um die Kreiszahl π zu berechnen. Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprünglich von Carl Friedrich Gauß.

Der Satz gilt insbesondere auch für Grenzwerte von Folgen: eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Folgen beschränkt wird, konvergiert ebenfalls gegen diesen Wert.

Einschließungsregel für Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei reelle Folgen mit , und für fast alle . Ist eine weitere Folge mit für fast alle , so konvergiert , und zwar ebenfalls gegen .[1]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

eine Folge. Da für ist der Nenner immer größer als . Daher gilt

.

Da sowohl als auch gegen konvergieren, folgt aus der Einschließungsregel, dass ebenfalls gegen konvergiert.

Einschnürungssatz für Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Intervall, das einen Wert enthält. Es seien , und auf definierte Funktionen. Wenn für jedes aus gilt

sowie

,

dann ist .

muss nicht inmitten von liegen. Ist Randpunkt von , so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise , so gilt der Satz auch für die Grenzwertuntersuchung .

Zum Beweis folgt aus den Annahmen direkt

,

so dass die Ungleichungen tatsächlich Gleichungen sind und daher auch gegen strebt.

Beispiele und Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz praktisch angewendet wird.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

f (blau) mit Schrankenfunktionen g (rot) und h (grün)

Man betrachte , das auf ganz außer für definiert ist. Den Grenzwert für auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von de l’Hospital kann auch nicht angewendet werden, da überall oszilliert und keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Da die Sinusfunktion betragsmäßig durch 1 begrenzt ist, ist betragsmäßig eine passende Schranke für . In anderen Worten gilt mit und :

und sind Polynomfunktionen und deshalb stetig, daher gilt

.

Aus dem Einschnürungssatz folgt nun

.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das obige Beispiel ist eine spezielle Anwendung eines häufig auftretenden allgemeinen Falles. Angenommen, wir wollen zeigen, dass gilt:

.

Es ist dann ausreichend, eine Funktion zu finden, die auf einem enthaltenden Intervall definiert ist (außer möglicherweise bei ), für die gilt

,

und außerdem für alle aus gilt

.

In Worten gesprochen heißt das, dass der Fehler zwischen und beliebig klein gemacht werden kann, wählt man nahe genug an . Diese Bedingungen sind ausreichend, da die Betragsfunktion überall nicht negativ ist, so dass wir

für alle

wählen können und den Einschnürungssatz anwenden können. Da nun

für gilt ,

gilt auch und damit

.

Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch elementargeometrische Überlegungen am Einheitskreis (siehe Zeichnung rechts) lässt sich zeigen, dass

.[2]

Wegen

folgt mit dem Einschnürungssatz

.

Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hauptidee dieses Beweises ist es, die relativen Unterschiede der Funktionen , und zu betrachten. Dies hat den Effekt, dass die untere Schrankenfunktion konstant null ist, was den Beweis im Detail deutlich einfacher macht. Der allgemeine Fall wird dann auf algebraischem Wege bewiesen. Im Spezialfall und gilt

.

Sei ein fester Wert. Gemäß der Definition des Grenzwerts einer Funktion existiert nun ein , sodass

wenn gilt , dann ist .

Für alle aus gilt gemäß Annahme

,

also gilt

.

Daraus schließt man, dass

wenn gilt , dann ist .

Damit ist bewiesen, dass

.

Für beliebige und gilt nun für jedes aus

.

Nun subtrahiert man von jedem Ausdruck:

.

Da für sowohl also auch gegen streben gilt

.

Mit dem oben bewiesenen Spezialfall folgt

für

und daraus dann

.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine maßtheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt, bei dem durch die Einschnürung mittels lokal nach Maß konvergenten Funktionenfolgen auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration der eingeschnürten Funktionenfolge sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Walter: Analysis 1. Springer, 5-te Auflage, 2013, ISBN 9783662056981, S. 63, 119

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Mathematische Leitfäden. 17. Auflage. Teil 1. Vieweg+Teubner (Springer), Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 152 (Auszug (Google)).
  2. Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, S. 80-81. Siehe auch Salman Khan : Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (Video, Khan Academy (englisch))