Einschränkung

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In der Mathematik wird der Begriff Einschränkung meist für die Verkleinerung des Definitionsbereichs einer Funktion verwendet.

Auch für Relationen ist es möglich, die Einschränkung auf eine Teilmenge der Grundmenge zu betrachten.

Gelegentlich wird in mathematischen Beweisen die Formulierung „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ (o. B. d. A.) benutzt. Diese hat mit den hier erläuterten mathematischen Begriffen nichts zu tun.

Einschränkung einer Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine beliebige Funktion und eine Teilmenge der Definitionsmenge , dann versteht man unter der Einschränkung (oder Restriktion) von auf diejenige Funktion , die auf mit übereinstimmt. Fasst man die Funktion als rechtseindeutige, linkstotale Relation auf, dann reproduziert diese Definition die der Vorbeschränkung . Mit Hilfe der Inklusionsabbildung lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

.

In der Situation nennt man auch eine Fortsetzung von .[1] Ein Beispiel hierfür ist die stetige Fortsetzung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei die Menge der reellen Zahlen und mit die Quadratfunktion. ist nicht injektiv, die Einschränkung auf das Intervall der nichtnegativen reellen Zahlen ist dies aber schon. Wenn man auch noch die Zielmenge auf die Bildmenge (ebenfalls ) einschränkt, erhält man die bijektive Quadratfunktion mit , die also eine Umkehrfunktion hat, nämlich die Quadratwurzelfunktion.

Verträglichkeitsregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vereinigung der (Graphen der) Einschränkungen einer Funktion auf eine Menge und eine Menge ist gleich der Einschränkung auf die Vereinigung dieser beiden Mengen. Gleiches gilt für den Schnitt:

Ähnliches gilt für andere Mengenoperationen, sowie für unendliche Vereinigung und Schnitt. Daraus folgt: Sind die beiden Mengen und disjunkt, so sind es auch die (Graphen der) eingeschränkten Funktionen und .

Einschränkung einer Relation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweistellige Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine zweistellige Relation aus dem Vorbereich in den Nachbereich und seien Mengen, dann heißt[1]

die Vorbeschränkung von in und

die Nachbeschränkung von in .[2][3][4] In der Praxis wird dabei meist und gelten, obwohl das keine Voraussetzung sein muss.

Legt man die alternative ausführliche Definition von Relationen mit    zugrunde, dann stellt sich die Vorbeschränkung von auf eine Menge dar als

und die Nachbeschränkung auf eine Menge als

.

Solange die Definitions- bzw. Wertebereiche nicht eingeschränkt werden ( bzw. ), sind die Vor- bzw. Nachbeschränkungen im Wesentlichen gleich der ursprünglichen Relation (insbesondere im Fall der Gleichheit ).

Homogene zweistellige Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei homogenen zweistelligen Relationen auf der Menge (d. h. ) spricht man von einer totalen Einschränkung (oder einfach Einschränkung), wenn diese Relation gleichzeitig in dieselbe Menge vor- und nachbeschränkt wird:

[5]

Auf die Reihenfolge, in der Vor- und Nachbeschränkung angewendet werden, kommt es nicht an.
Insbesondere gilt: Ist eine homogene zweistellige Relation auf der Menge und eine Teilmenge von dann ist die Relation auf die Einschränkung von auf wenn für alle und aus gilt:

.

n-stellige Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prinzipiell lässt sich die obige Definition auf beliebige -stellige Relationen erweitern. Für eine n-stellige homogene Relationen auf einer Menge (d. h. ) ist die (totale) Einschränkung gegeben durch

Insbesondere gilt analog zum obigen: Ist eine homogene -stellige Relationen auf einer Menge (d. h. ), und eine Teilmenge von , dann ist die -stellige Relation auf die Einschränkung von auf wenn für alle -gliedrigen Sequenzen aus gilt:

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kleiner-Relation auf der Menge der ganzen Zahlen ist die Einschränkung der Kleiner-Relation auf der Menge der rationalen Zahlen.

Einschränkung einer Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine lineare Darstellung einer Gruppe auf einem Vektorraum ist ein Homomorphismus von in die allgemeine lineare Gruppe . Unter einer Einschränkung können zwei verschiedene Konstruktionen verstanden werden.

  • Falls ein invarianter Unterraum ist, dann erhält man eine eingeschränkte Darstellung .
  • Falls eine Untergruppe ist, dann ist eine Darstellung von , die mit (für Restriktion) bezeichnet wird. Falls keine Verwechslungsgefahr besteht, schreibt man auch nur oder auch kurz Man verwendet auch die Schreibweise bzw. für die Einschränkung einer Darstellung (auf) von auf

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Dieter Klaua: Mengenlehre. De-Gruyter-Lehrbuch. de Gruyter, Berlin, New York 1979, ISBN 3-11-007726-4. Der Autor benutzt die Bezeichnung Korrespondenz im mengentheoretischen Sinn synonym zu Relation, verwendet dann aber das Zeichen anstelle von . Im Artikel hier ist jedoch durchgängig und (Graph von ) benutzt.
  • Willard van Orman Quine: Set Theory And Its Logic. Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, USA 1963, ISBN 0-674-80207-1. S. 359 (HC) / 380 (PB).
    Willard van Orman Quine: Mengenlehre und ihre Logik (= Logik und Grundlagen der Mathematik (deutsche Übersetzung). Band 10). Vieweg+Teubner Verlag, 1973, ISBN 3-528-08294-1, S. 264. Der Autor benutzt griechische Kleinbuchstaben zur Kennzeichnung von Mengen im Allgemeinen (wie hier und ) und Relationen im Besonderen. Die Seitenangaben beziehen sich auf die deutsche Übersetzung.

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Gelegentlich wird in der Mengenlehre eine abweichende Notation verwendet:
    und ebenso für Abbildungen (Funktionen)
    Beispiele siehe Proofwiki: Restriction, Proofwiki: Restriction/Mapping und Martin Ziegler: Vorlesung über Mengenlehre, Universität Freiburg, 1992-2014, Seite 7. Man beachte, dass diese Notation mit dem Harpunensymbol in unterschiedlicher Weise gebraucht wird und teilweise konträr zu der von W. v. O. Quine und D. Klaua ist!
  2. D. Klaua: Mengenlehre, S. 66, Definition 8 (a), Teil 1, Teil 2, Teil 3.
  3. W. v. O. Quine: Mengenlehre und ihre Logik, Seite 47, 9.16 f.
  4. Dabei sind
    der Definitions- und Wertebereich der Relation ; ist der Existenzquantor, gelesen: Es gibt (mindestens) ein …
  5. D. Klaua, Mengenlehre, S. 66, Definition 8 (a), Teil 4.