Einsteinsche Feldgleichungen

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Feldgleichung auf einer Mauer in Leiden

Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie wird durch die einsteinschen Feldgleichungen (nach Albert Einstein, auch Gravitationsgleichungen) das physikalische Phänomen der Gravitation durch Methoden der Differentialgeometrie mathematisch formuliert.

Die Grundidee ist dabei die Verknüpfung einer Energie-Impuls-Verteilung mit der Geometrie der Raumzeit. Energie und Impuls werden dabei gemäß der speziellen Relativitätstheorie zu einem Vierertensor zusammengefasst, dem Energie-Impuls-Tensor, während ein metrischer Tensor die Geometrie der Raumzeit darstellt.

Grundsätzliche Annahmen und Forderungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Aufstellung der Feldgleichungen sind zunächst physikalische Überlegungen notwendig, da die Form der Gleichungen postuliert werden muss.

So wie die Masse das Gravitationsfeld in der newtonschen Gravitationstheorie verursacht, ist der natürlichste Ansatz für deren Verallgemeinerung, dass das Gravitationsfeld mathematisch von der Gestalt des Energie-Impuls-Tensors abhängig ist. Nun ist kein beliebiger symmetrischer Tensor, da er erfüllen muss, d. h., die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors muss lokal, bei fester Raum- und Zeitkoordinate, verschwinden, damit das Gesetz der Energie- und Impulserhaltung aufrechterhalten wird. Im Beitrag des Energie-Impuls-Tensors wird berücksichtigt, dass Masse und Energie äquivalent sind; d. h., jede Form der Energie induziert schwere Masse gemäß dem Äquivalenzprinzip. Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen-Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) aber auch weitere Beiträge (z. B. den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann).

Entsprechend dem physikalischen Ausgangspunkt von Einsteins Überlegungen, dem Äquivalenzprinzip, sollte die Wirkung der Gravitation als Krümmung der Raumzeit dargestellt werden. Dem Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Feldes sollte dementsprechend auf der anderen Seite der Gleichung ein Tensor gleicher Form stehen, der die geometrischen Eigenschaften (Krümmung) der Raumzeit beschreibt, der Einsteintensor , aufgebaut aus dem grundlegenden metrischen Tensor und daraus abgeleiteter Krümmungs-Kovarianten und -Invarianten (siehe unten). Die Feldgleichungen nehmen also die Form an:

Die Konstante heißt Einsteinsche Gravitationskonstante oder einfach Einsteinkonstante und wird als Proportionalitätskonstante angenommen ( ist die Gravitationskonstante).

Aus den bisherigen Überlegungen ergeben sich zusammengefasst diese Forderungen:

  1.    für eine flache Raumzeit, d. h. in Abwesenheit von Gravitation.
  2.   für die Energie-Impuls-Erhaltung.
  3.  aufgrund obiger Forderung für .
  4.  ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, daher muss dies auch für gelten.
  5.  ist dementsprechend eine Kombination aus den grundlegenden geometrischen Kovarianten, die (symmetrische) Tensoren zweiter Stufe sind, dem Krümmungstensor und dem metrischen Tensor .

Die Feldgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus diesen Forderungen ergeben sich die Feldgleichungen:

Hierbei ist die Gravitationskonstante, die Lichtgeschwindigkeit, der Ricci-Tensor, der Krümmungsskalar und der metrische Tensor.

Die Feldgleichungen können auch mit umgekehrtem Vorzeichen vor der Einsteinkonstante definiert werden

.

Dieses Vorzeichen ist rein von der verwendeten Konvention abhängig und physikalisch nicht bedeutend; beide Konventionen sind weit verbreitet.

Aus den obigen Forderungen ist auch ein Term proportional dem metrischen Tensor auf der linken Seite erlaubt, was zu Feldgleichungen mit einer Kosmologischen Konstanten führt (siehe unten).

Zu den Feldgleichungen kommt noch die Bewegungsgleichung für sich auf einer Geodäte bewegenden Testteilchen hinzu, die sogenannte Geodätengleichung (siehe Allgemeine Relativitätstheorie). Insgesamt drückt sich in den Feld- und Bewegungsgleichungen eine dynamische gegenseitige Beeinflussung von Energie-Impuls-Verteilung und Geometrie der Raumzeit aus.

Die Feldgleichungen bilden ein System von 16 gekoppelten partiellen Differentialgleichungen, die durch Symmetrien auf 10 reduziert werden. Außerdem gibt es die vier Bianchi-Identitäten, die sich aus der Energie-Impuls-Erhaltung ergeben und das System weiter reduzieren. Es sind eine ganze Reihe exakter Lösungen bekannt, die meist bestimmten zusätzlichen Symmetrieforderungen genügen. Im materiefreien Raum haben die Feldgleichungen hyperbolischen Charakter, das heißt die Lösungen entsprechen Wellengleichungen (mit der Lichtgeschwindigkeit als maximaler Ausbreitungsgeschwindigkeit). Im Allgemeinen können sie nur numerisch gelöst werden, wofür es ausgefeilte Techniken und ein eigenes Spezialgebiet (Numerische Relativität) gibt. Es gibt auch einige exakte mathematische Resultate wie die Wohlgestelltheit des Cauchy-Problems (Yvonne Choquet-Bruhat), die Singularitäten-Theoreme von Roger Penrose und Stephen Hawking oder Resultate von Demetrios Christodoulou über die Stabilität des Minkowskiraums (mit Sergiu Klainerman) und die Instabilität nackter Singularitäten.

Im Grenzfall schwacher Gravitationsfelder und kleiner Geschwindigkeiten ergeben sich die üblichen Newtonschen Gravitationsgleichungen einer Massenverteilung (und die sich hier ergebenden Gleichungen sind damit als partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Typ). Zum Beispiel für den Vergleich mit alternativen Gravitationstheorien anhand von Beobachtungen wurde auch die Post-Newton-Näherung bei kleinen Feldern entwickelt.

Die Vakuumfeldgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man beispielsweise den Außenraum von Sternen, wo sich als Näherung keine Materie aufhält, so wird gesetzt. Man nennt dann

die Vakuumfeldgleichungen und ihre Lösungen Vakuumlösungen. Für die Umgebung einer nicht rotierenden und elektrisch neutralen Kugel der Masse M erhält man in Kugelkoordinaten hieraus beispielsweise die äußere Schwarzschild-Lösung, deren Linienelement die Form

besitzt.

Die Invariante der Theorie, verallgemeinert den speziell-relativistischen Begriff der Eigenzeit, unter anderem durch Berücksichtigung der Gravitation des betrachteten Himmelskörpers. Besonderheiten ergeben sich bei Unterschreiten eines kritischen Wertes für den Radius , nämlich für (siehe Schwarzes Loch).

Einstein-Maxwell-Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird für der elektromagnetische Energie-Impuls-Tensor

in die Feldgleichungen eingesetzt

so spricht man von den Einstein-Maxwell-Gleichungen.

Die Kosmologische Konstante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Kosmologische Konstante

Ausgehend von den oben angegebenen Grundannahmen lässt sich ein weiterer additiver Term zum Einsteintensor hinzuzufügen, der aus einer Konstanten und dem metrischen Tensor besteht. Damit ist die Forderung der Divergenzfreiheit noch immer erfüllt und so nehmen die Feldgleichungen die Form

an. Hierbei ist die kosmologische Konstante, die von Einstein in die Feldgleichungen eingebaut und so gewählt wurde, dass das Universum statisch wird; dies war die damals sinnvollste Anschauung. Es stellte sich jedoch heraus, dass das so von der Theorie beschriebene Universum instabil ist. Als Edwin Hubble schließlich nachwies, dass das Universum expandiert, verwarf Einstein seine Konstante. Sie spielt heute erneut eine Rolle durch Ergebnisse der beobachtenden Kosmologie ab den 1990er Jahren.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Albert Einstein: Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, S. 844–847, 25. November 1915
  • Yvonne Choquet-Bruhat: General relativity and the Einstein equations. Oxford Univ. Press, Oxford 2009, ISBN 978-0-19-923072-3.
  • Hans Stephani: Exact solutions of Einstein's field equations. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7.
  • Bernd G. Schmidt: Einstein's field equations and their physical implications. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67073-4.
  • Fabio Cardone, (et al.): Einstein's Field Equations in R5 and Their Solutions. S. 287–301 in: F. Cardone: Deformed spacetime. Springer, Dordrecht 2007, ISBN 978-1-4020-6282-7.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]