Einstellige Verknüpfung

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Eine einstellige Verknüpfung (auch unäre oder monadische Verknüpfung) ist in der Mathematik eine Verknüpfung mit nur einem Operanden. Ein einfaches Beispiel einer einstelligen Verknüpfung ist das unäre Minus zur Bildung der Gegenzahl einer Zahl. Einstellige Verknüpfungen werden üblicherweise als Funktionen auf einer gegebenen Menge angesehen. Sie werden unter anderem in der Algebra, der Logik und der Informatik eingesetzt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine einstellige Verknüpfung auf einer Menge ist eine Selbstabbildung

.

Das Paar heißt dann auch einstellige Algebra oder schöner Kette. Die einstellige Verknüpfung ist die zugehörige Strukturabbildung.

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einstellige Verknüpfungen werden verschieden notiert.

  • Die Notierung als Funktion. Das ist die in der Mathematik übliche Bezeichnung. Das Funktionszeichen steht vor dem Argument, auf welches die Funktion angewendet wird. Beispielsweise: . Ist es klar was das Funktionszeichen und was das Argument ist, so kann man auf die Klammerung verzichten. Dies ist zum Beispiel bei der Wurzelfunktion der Fall. In manchen Programmiersprachen wird dies konsequent durchgeführt. So beispielsweise in Lisp.
  • Die Präfixnotation. Dies ist eigentlich nichts anders als die oben beschriebene Funktionsnotation. Das Funktionszeichen steht vor dem Argument.
  • Die Postfixnotation. Das Funktionszeichen steht hinter dem Argument.
  • Die Verwendung von Diakritika.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele für einstellige Verknüpfungen sind:

  • (Negation, Bildung der Gegenzahl einer Zahl ). Dies ist ein Beispiel für die Präfixnotation.
  • (Fakultät einer natürlichen Zahl ). Dies ist ein Beispiel für die Postfixnotation.
  • (Quadrieren einer reellen Zahl )
  • (Konjugation einer komplexen Zahl ). Dies ist ein Beispiel für die Verwendung diakritischer Zeichen.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Richard Dedekind[1] untersucht in seiner Schrift von 1887 "Was sind und was sollen die Zahlen" Mengen zusammen mit einer Selbstabbildung . Er untersucht also, wenn man die Sprache dieses Artikels verwendet, Mengen mit einer einstelligen Verknüpfung. Er nennt eine Menge ein System. Eine Teilmenge , für die ist nennt er Kette. ist also abgeschlossen gegenüber der Operation . Die Menge ist selbst eine Kette.

Vielleicht hatte Dedekind die folgende Vorstellung, als er den Namen Kette wählte. Startet man bei und wendet immer wieder die Selbstabbildung an, so erhält man eine Bahn oder Kette.

Um diese Ketten zu untersuchen entwickelt er einen beträchtlichen Teil der heutigen Mengensprache. So erklärt er, was Durchschnitt und Vereinigung von Mengen ist. Jede Teilmenge ist in einer kleinsten Unterkette von enthalten. Dies ist die von erzeugte Unterkette von . Das Prinzip der vollständigen Induktion besagt nun: Es sei zusammen mit der einstelligen Verknüpfung eine von der Teilmenge erzeugte Kette. Um zu zeigen,dass eine Eigenschaft jedem Element aus zukommt, muss gezeigt werden:

  1. Jedes Element aus hat diese Eigenschaft.
  2. Die Menge aller Elemente mit der Eigenschaft ist gegenüber abgeschlossen.

Bis hierher geht noch keine besondere Eigenschaft der natürlichen Zahlen ein.

Elegant definiert er, was eine unendliche Menge ist. Eine Menge heißt unendlich, wenn es eine injektive, aber nicht surjektive Funktion gibt. Aus der Existenz einer unendlichen Menge leitet er dann die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen mit den Operationen her. Peano hat dies kurze Zeit später aufgegriffen.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Algebra werden einstellige Verknüpfungen häufig bei der Definition algebraischer Strukturen verwendet. So wird eine Gruppe als Tupel bestehend aus einer Trägermenge , einer zweistelligen Verknüpfung , einem Einselement (dabei handelt es sich um eine nullstellige Verknüpfung) und einer einstelligen Verknüpfung , die einem Gruppenelement das zugehörige inverse Element zuordnet, definiert.

In der Logik ist die Negation einer Aussage eine wichtige einstellige Verknüpfung.

In Programmiersprachen werden häufig eine Reihe einstelliger Verknüpfungen als vorgefertigte Funktionen bereitgestellt. Beispiele in der Programmiersprache C sind:

Unterketten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Teilmenge der Kette heißt Unterkette von , wenn sie abgeschlossen gegenüber ist. Das heißt .
  • Der Durchschnitt und die Vereinigung von Unterketten ist eine Unterkette.
  • Jede Untermenge ist in einer kleinsten Unterkette von enthalten, welche enthält. Sie heißt die von erzeugte Unterkette und wird in diesem Artikel mit bezeichnet.
  • Gibt es in der Kette , so dass , so sagt man: ist von einem Element erzeugt.

Morphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind Ketten, mit den Strukturabbildung , so heißt eine Abbildung ein Morphismus , wenn gilt.

  • Die Identität ist stets ein Morphismus.
  • Sind Ketten, und Morphismen, so ist ein Morphismus.
Man sagt die Klasse der Ketten zusammen mit den Morphismen bilden eine Kategorie. In dem Buch von F. William Lawvere und Stephen H. Schanuel "Conceptual Mathematics"[2] wird dies die Kategorie der Endomaps genannt. In diesem Artikel soll es als Kategorie der Ketten bezeichnet werden.
Ein Morphismus von Ketten

In dem Bild haben wir die Kette und die Strukturabbildung . Außerdem die Kette mit der Strukturabbildung . Geht man in der oberen Zeile mit einen Schritt weiter und setzt dann mit über nach , so erhält man dasselbe, wie wenn man zuerst mit übersetzt und dann mit weiter geht. Ab dem Paar wiederholt sich das Muster. Man sieht es gibt noch genau einen zweiten Morphismus . Und zwar den Morphismus mit .

  • Zwei Ketten heißen isomorph, wenn es einen Morphismus gibt, der als Abbildung bijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist dann auch ein Morphismus.

Rekursionssatz von Dedekind[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einfach unendliche Menge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Kette mit injektivem heißt einfach unendlich , wenn es ein gibt mit und es ist . Es ist von erzeugt. Mit diesen Begriffen gilt:

Satz: Folgende Aussagen sind äquivalent:
  1. Es gibt eine einfachste unendliche Menge.
  2. Es gibt eine Kette und , so dass die Peano Axiome erfüllt sind. Diese sind:
    1. .
    2. ist injektiv.
    3. Jede gegenüber abgeschlossene Teilmenge , mit ist schon gleich .

Bemerkung: Dies Formulierung stammt im Wesentlichen von Richard Dedekind. Schaut man unter dem Begriff Peano-Axiome nach, so lauten sie ein klein wenig anders.

  • Aber 1. und 2. der dortigen Formulierung heißt ist eine Kette.
  • 3. in der dortigen Formulierung besagt .
  • 4. besagt, dass injektiv ist.
  • 5. der dortige Formulierung ist unser Aussage 3.

Wählt man die obige Formulierung so ist zunächst noch völlig unklar ob es nicht wesentlich verschiedene einfach unendliche Mengen gibt. Man wähle etwa als die Ebene und als Strukturabbildung eine Drehung um einen bestimmten Winkel.

Rekursionssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz: (Rekursionssatz von Dedekind 1887)
Ist eine einfach unendliche Menge, so gilt:
Zu jeder Kette und jedem gibt es genau einen Morphismus mit .
Folgerung: Je zwei einfach unendliche Ketten sind isomorph. Das heißt es gibt einen Isomorphismus zwischen den Ketten. Sie sind insbesondere als Mengen gleichmächtig.

Algebraische Struktur der natürlichen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Addition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine einfach unendliche Menge mit der Strukturabbildung und dem erzeugenden Element, so kann man eine Abbildung folgendermaßen erklären. Nach dem Rekursionsatz gibt es zu jedem genau eine Funktion mit . Es wird erklärt:

.
Da Bild schildert den Morphismus: Addition mit .
Zu a wir die Zahl n addiert

Im Grunde ist das die Addition mit zwei Meterstäben. Man nimmt sich zwei Meterstäbe sie nebeneinander und verschiebt den einen Meterstab um . Dann liest man an der Stelle auf dem anderen ab.

Die Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen. Vieweg, 1965.
  • Hartmut Ernst: Grundkurs Informatik. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-91968-7, S. 266.
  • Ulrich Knauer, Kolja Knauer: Diskrete und algebraische Strukturen – kurz gefasst. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45177-9, S. 141.
  • F. William Lawvere, Stephan H. Schanuel: Conceptual Mathematics A first introduction to categories. 2009, ISBN 978-0-521-71916-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Richard Dedekind "Was sind und was sollen die Zahlen"
  2. Siehe das Buch von F, William Lawvere und Stephen H. Schanuel

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]