Elastizitätsmodul

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Physikalische Größe
Name E-Modul
Formelzeichen E
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Pa  = N/m2 = kg·m−1·s−2 M·L−1·T−2
cgs Ba = dyn/cm2 = cm−1·g·s−2
Siehe auch: Spannung (Mechanik) Druck p

Der Elastizitätsmodul (auch Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul, E-Modul[1] oder Youngscher Modul; Plural Elastizitätsmoduln[2]) ist ein Materialkennwert aus der Werkstofftechnik, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers bei linear-elastischem Verhalten beschreibt.

Der Elastizitätsmodul wird mit E-Modul oder als Formelzeichen mit E abgekürzt und hat die Einheit einer mechanischen Spannung.

Der Betrag des Elastizitätsmoduls ist umso größer, je mehr Widerstand ein Material seiner elastischen Verformung entgegensetzt. Ein Bauteil aus einem Material mit hohem Elastizitätsmodul (z. B. Stahl) ist also steifer als ein Bauteil gleicher Konstruktion (gleichen geometrischen Abmessungen), welches aus einem Material mit niedrigem Elastizitätsmodul (z. B. Gummi) besteht.

Der Elastizitätsmodul (bzw. in anderer Notation direkt proportional[3] zur Federkonstante) ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Bei anisotropen, insbesondere bei kristallinen Materialien ist der Elastizitätsmodul jedoch richtungsabhängig und muss durch den Elastizitätstensor beschrieben werden, dessen Komponenten durch die elastischen Konstanten vereinfacht dargestellt werden. Die elastischen Konstanten sind Materialkonstanten, diese variieren innerhalb von realen Festkörpern, da reale Festkörper weder perfekt homogen sind (insbesondere Beton) noch konstante physikalische Eigenschaften (z. B. Temperatur) haben.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schematisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm: für kleine Dehnungen linear, Hookesche Gerade mit Steigung E

Der Elastizitätsmodul ist als Steigung des Graphen im Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei einachsiger Belastung bei infinitesimaler Verzerrungsänderung bei Spannungsfreiheit definiert. Die meisten Materialien haben einen (zumindest kleinen) linearen Bereich, dieser wird auch als Hookescher Bereich bezeichnet.

Dabei bezeichnet (=Kraft/Fläche) die mechanische Spannung (Normalspannung, nicht Schubspannung) und die Dehnung. Die Dehnung ist das Verhältnis von Längenänderung zur ursprünglichen Länge . Die Einheit des Elastizitätsmoduls ist die einer Spannung:

E in , in SI-Einheiten: E in (Pascal)

Der Elastizitätsmodul wird als Materialkonstante bezeichnet, da mit ihm und den Querkontraktionszahlen das Elastizitätsgesetz aufgestellt wird. Der Elastizitätsmodul ist aber nicht bezüglich aller physikalischen Größen konstant. Er hängt von verschiedenen Umgebungsbedingungen wie z. B. Temperatur oder Feuchte ab.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei ideal linear-elastischem Werkstoffgesetz (Proportionalitätsbereich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm) ergibt sich die Federkonstante c eines geraden Stabes aus seiner Querschnittsfläche A, seiner Länge und seinem Elastizitätsmodul E:

.

Mit den Ausdrücken für die Spannung und für die Dehnung erhält man aus obiger Gleichung das Hookesche Gesetz für den einachsigen Spannungszustand

und daraus den E-Modul

Typische Zahlenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einheitenumrechnung:

  • 1 N/mm² = 1 MPa
  • 1 kN/mm² = 1 GPa
Material E-Modul in GPa Material E-Modul in GPa
Metallische Werkstoffe bei 20 °C Nichtmetallische Werkstoffe bei 20 °C
Baustahl 210[4] Glas 40…90[4]
V2A-Stahl 180[5] Beton 20…40[4]
Gusseisen 90…145[4] Keramik 160…440[6]
Messing 78…123[7] Holz 10…15[4]
Kupfer 100…130[8][9] Polypropylen 1,3…1,8[10]
Titan 110[4] Kautschuk bis 0,05[4]
Aluminium 70[4] Graphen ca. 1000[11]
Magnesium 44[7] Diamant ca. 800[12]
Blei 19[7] Marmor 72[4]
Gold 78[4] Eis (-4 °C) 10[4]
Nickel 195-205[4] Hartgummi 5[4]
Wolfram 405[4] Klinker 27[4]

Beziehungen elastischer Konstanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es bestehen verschiedene Zusammenhänge zwischen Elastizitätsmoduln, gemäß denen ein Elastizitätsmodul aus zwei anderen berechnet werden kann.

Neben dem Elastizitätsmodul wird der Schubmodul, auch Scher- oder G-Modul genannt, verwendet, der bei Schub gemessen wird und je nach Querkontraktionszahl für nicht-auxetische Materialien das 0,33- bis 0,5-fache des Elastizitätsmoduls beträgt.[13] Bei steifen Materialien wird meistens der Elastizitätsmodul gemessen, bei weichen (Gele, Polymer-Schmelzen) der Schubmodul, da sich der Elastizitätsmodul bei solchen Systemen meist nicht mehr gut messen lässt, weil sich die Probe unter ihrem eigenen Gewicht verformt (das sog. Sagging).

Es gilt für ein linear-elastisches, isotropes Material folgender Zusammenhang zwischen dem Schubmodul G, dem Kompressionsmodul K und der Poissonzahl :

Bezug zu anderen Eigenschaften metallischer Werkstoffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der E-Modul hat keinen strengen Bezug zur Härte sowie zu Streckgrenze und Zugfestigkeit metallischer Werkstoffe (z. B. einfacher Baustahl und hochfester Sonderstahl). Der E-Modul eines Metalls steigt mit seiner Schmelztemperatur. Zudem besitzen kubisch raumzentrierte Metalle bei vergleichbarer Schmelztemperatur einen höheren E-Modul als kubisch flächenzentrierte. Der Zusammenhang auf atomarer Ebene ergibt sich aus der Bindungsstärke der Atome im Kristallgitter.

Spannungen und Dehnungen in statisch (un)bestimmten Systemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In statisch bestimmten Systemen ergeben sich die mechanischen Spannungen im linear-elastischen Bereich aus der Last (einwirkende Kräfte) und der Geometrie, während die Dehnungen vom E-Modul der Werkstoffe abhängen. Verformt sich das Material plastisch, so werden Spannungen dadurch teilweise abgebaut.

In Fällen statischer Unbestimmtheit (z. B. Durchlaufträger, behinderte Wärmedehnung, Schiffsrumpf im Wellengang oder im Tidenhub) sind die wirkenden Kräfte und induzierten Spannungen abhängig von der Steifigkeit des statischen Systems. In solchen Fällen können Bauteile aus nachgiebigeren Werkstoffe mit niedrigerem Elastizitätsmodul dazu führen, dass Spannungen reduziert werden. Die Bauteile passen sich flexibler den Gegebenheiten an, hingegen sich steifere Werkstoffe der elastischen Verformung widersetzen und damit Spannungsspitzen entstehen können.

E-Modul versus Steifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umgangssprachlich wird der Elastizitätsmodul oft als Maß für die „Steifigkeit“ des Werkstoffes gesehen. Tatsächlich charakterisiert er jedoch – neben anderen elastischen Konstanten – die Materialelastizität. Die Steifigkeit hingegen beschreibt den Widerstand einer Festkörpergeometrie bzw. eines Bauteils gegen elastische Verformung durch eine Kraft oder ein Moment.

Das Hookesche Gesetz in skalarer und allgemeiner Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Hookesches Gesetz
Hauptartikel: Elastizitätstensor

Die Beziehung in skalarer Schreibweise gilt nur für querdehnungsfreie Materialien oder für den einachsigen Spannungszustand (z. B. einachsiger Zug). Im mehrachsigen Spannungszustand muss das Hookesche Gesetz abhängig vom Grad der elastischen Anisotropie in seiner allgemeinen Form angewendet werden. So gilt beispielsweise für die laterale Verformung dünner isotroper Platten (ebener Spannungszustand)

,

wobei die Poissonzahl bezeichnet. Die Dehnung in Dickenrichtung ergibt sich zu

.

Bauteilversteifung durch biaxiale Spannungszustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Übergang vom einachsigen (uniaxialen) in den zweiachsigen (biaxialen) Spannungszustand können für Bauteile und Schichten aus homogenem isotropem Material zwei einfache Sonderfälle unterschieden werden. Dabei wird aufgrund der Beeinflussung der Querkontraktion für nicht-auxetische Materialien mit einer Poissonzahl echt größer Null stets ein höherer Modul in der Belastungsrichtung gemessen.

Infolge einer verhinderten Querkontraktionyy = 0) ergibt sich dieser zu

.

Liegt in Quer- bzw. y-Richtung zusätzlich eine Belastung in der Höhe σyy = σxx vor, so ist der „biaxiale E-Modul“

.

Letzterer hat z. B. Bedeutung für die laterale Steifigkeit haftender Schichten, etwa bei Unterschieden im thermischen Ausdehnungsverhalten zwischen Schicht und Substrat. Der Erstgenannte kommt in dickwandigen Bauteilen oder sehr breiten Balken zum tragen. Die beiden abgeleiteten Größen sind jedoch keine Werkstoffkonstanten im ursprünglichen Sinn.


Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

…ergibt sich aus:[14]
Der Modul…
Kompressionsmodul
Elastizitätsmodul
1. Lamé-Konstante
Schubmodul bzw.
(2. Lamé-Konstante)
Poissonzahl
Longitudinalmodul

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Elastizitätsmodul – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Elastizitätsmodul, der. In: Normdaten (Sachbegriff). Deutsche Nationalbibliothek; abgerufen am 21. Juli 2013.
  2. Duden. Abgerufen am 5. März 2017.
  3. Federkonstante#Berechnung
  4. a b c d e f g h i j k l m n o Horst Kuchling: Taschenbuch der Physik. Carl Hanser, 2011, ISBN 978-3-446-42457-9, S. 624 f.
  5. engineeringtoolbox.com
  6. Tietz, Horst-Dieter: Technische Keramik: Aufbau, Eigenschaften, Herstellung, Bearbeitung, Prüfung. Hrsg.: Springer-Verlag. 2013, S. 5 (google.at).
  7. a b c Horst Czichos, Manfred Hennecke (Hrsg.): Hütte: Das Ingenieurwissen. Springer, 2004, ISBN 3-540-20325-7, S. E 66.
  8. Buildingmaterials.de: Kupfer (Memento vom 15. November 2009 im Internet Archive)
  9. Baustoffsammlung der Fakultät für Architektur der TU München: Metalle - Kupfer
  10. Wolfgang Weißbach: Werkstoffkunde: Strukturen, Eigenschaften, Prüfung. Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8318-2, S. 268.
  11. Changgu Lee, Xiaoding Wei, Jeffrey W. Kysar, James Hone: Measurement of the Elastic Properties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene. In: Science. Band 321, Nr. 5887, 2008, S. 385–388, doi:10.1126/science.1157996.
  12. M. F. Ashby, D. R. H Jones: Engineering Materials. I, 2. Auflage. 1996, Fig 3–5, S. 35.
  13. Schubmodul #Zusammenhang mit anderen Materialkonstanten
  14. G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).