Elementare Funktion

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Die elementaren Funktionen bezeichnen in der Mathematik immer wieder auftauchende, grundlegende Funktionen, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen. Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion elementar genannt wird und wann nicht.

Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen Differential- oder Funktionalgleichung, und sind deshalb – mehr noch als die speziellen Funktionen – auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

Von elementar integrierbaren Funktionen wird gesprochen, wenn die Stammfunktion einer elementaren Funktion selbst elementar ist. Wichtige nicht elementar integrierbare Funktionen sind das Fehlerintegral und der Integralsinus. Auch diese Sprechweise ist nicht exakt.

Wolfram Research, der Hersteller des Computeralgebrasystems Mathematica, zählt zu den elementaren Funktionen die folgenden:[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionsversuche: Im in vielen Quellen unpräzisen Sprachgebrauch bezeichnet man Funktionen als elementar, die sich in endlich vielen Schritten allein mit Hilfe

  • der vier Grundrechenarten ,
  • des Potenzierens bzw. Radizierens ,
  • der Exponentialbildung bzw. Logarithmierung sowie
  • der Verkettung

aus einer rationalen Funktion (d. h. dem Quotienten zweier Polynomfunktionen) bilden lassen.[2]

Diese Definition erlaubt es, vielen Abbildungsvorschrift sofort anzusehen, ob sie elementar ist, und so lassen sich alle weiter oben aufgeführten Funktionen – bis auf die Lambert-W-Funktion – allein mit Hilfe der genannten Operationen ausdrücken, etwa

,
oder
.

Außerdem wurde auf der Grundlage dieser Definition der sogenannte Risch-Algorithmus entwickelt, der es ermöglicht zu entscheiden, ob eine gegebene elementare Funktion auch eine elementare Stammfunktion besitzt. Axiom ist bis heute das einzige Computer-Algebra-System mit einer vollständigen Implementierung des Risch-Algorithmus.

Genaue Definition: [3]: Sei ein Körper mit Charakteristik 0 und Differentiation, d. h. es gibt eine Abbildung mit den folgenden beiden Eigenschaften: Für alle gilt:

Ist nun eine Körpererweiterung von , so heißt :

  • konstant über , falls ,
  • algebraisch über , falls es und mit gibt, sodass
  • exponentiell über , falls es ein gibt, sodass
  • logarithmisch über , falls es ein gibt, sodass

Nun nennt man eine Körpererweiterung von algebraisch bzw. exponentiell bzw. logarithmisch über , falls es ein gibt, sodass , die kleinste Körpererweiterung von , die enthält, und dieses algebraisch bzw. exponentiell bzw. logarithmisch über ist. Ein heißt nun elementar über , falls es und eine endliche Folge von Körpererweiterungen gibt, sodass für alle jeweils algebraisch, exponentiell oder logarithmisch über ist.

Nun erhält man den bereits intuitiv erklärten Begriff elementarer Funktionen, durch die Funktionen, die elementar über dem Körper der rationalen Funktionen sind.

Beispiele für nicht-elementare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion heißt nicht elementar integrierbar, falls ihre Stammfunktion nicht elementar ist. Die folgenden Funktionen sind nicht elementar integrierbar[4]:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • J. H. Davenport: What Might "Understand a Function" Mean. In: M. Kauers, M. Kerber, R. Miner, W. Windsteiger: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/ Heidelberg 2007, S. 55–65. (semanticscholar.org)
  • Maxwell Rosenlicht: Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals. In: Pacific Journal of Mathematics. 24, No. 1, 1968, S. 153–161.
  • Maxwell Rosenlicht: Integration in Finite Terms. In: The American Mathematical Monthly. 79, 1972, S. 963–972.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Elementary Functions auf functions.wolfram.com
  2. Elementare Funktion. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/ Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  3. Maxwell Rosenlicht: Integration in Finite Terms. In: The American Mathematical Monthly. 79, 1972, S. 963–972.
  4. Elena Anne Marchisotto, Gholam-Ali Zakeri: An Invitation to Integration in Finite Terms