Elliptische Koordinaten

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Elliptische Koordinaten in der Ebene für c = 1. Die numerische Elliptizität ist hier mit e bezeichnet.

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt. Allgemeiner existieren auch elliptische Koordinatensysteme im dreidimensionalen Raum.

Ebene elliptische Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen und auf der x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten hat dann die kartesischen Koordinaten

mit und . Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die -Koordinatenlinien Ellipsen. Für ist die -Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für ist die -Koordinatenlinie zur Halbgeraden auf der x-Achse entartet, für zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen x-Achse. Für und ist die -Koordinatenlinie die positive bzw. die negative y-Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität e = c. Die Ellipsen, auf denen konstant ist, haben die große Halbachse , die kleine Halbachse und numerische Exzentrizität . Die Hyperbeln, auf denen konstant ist, haben die reelle Halbachse , die imaginäre Halbachse und numerische Exzentrizität .

Verallgemeinerung auf drei Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z-Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:

Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:

Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die -Koordinatenlinien sind hier Ellipsen. Die Koordinate läuft hier von 0 bis , die Koordinate von 0 bis unendlich und von 0 bis .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2+-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung analytisch gelöst werden.