Endliche Gruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Endliche Gruppen treten im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie auf. Eine Gruppe heißt endliche Gruppe, wenn eine endliche Menge ist, also eine endliche Anzahl von Elementen hat.

Axiome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem (siehe van der Waerden S. 15–17):

Ein Paar mit einer endlichen Menge und einer inneren zweistelligen Verknüpfung heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  • Assoziativität: Für alle Gruppenelemente , und gilt:
  • Eindeutigkeit der Kürzung: Aus wie auch aus folgt: .

Aus der Eindeutigkeit der Kürzung folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen und injektiv sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die Surjektivität folgt. Daher gibt es ein mit , was zur Existenz des neutralen Elementes führt, und dann ein mit , was die Existenz der inversen Elemente zeigt.

Endliche Untergruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Bedingung, dass die endliche Gruppe eine Untergruppe der Gruppe ist,

S1:  
S2:  

vereinfacht sich ebenfalls, da S2 aus S1 folgt: Wenn endlich ist, muss jedes Element von eine endliche Ordnung besitzen, d. h. . Das bedeutet aber, dass bereits in ist. Eine nichtleere endliche Teilmenge einer beliebigen Gruppe ist also genau dann eine Untergruppe, wenn für alle auch in liegt.

Einfache Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede endliche Gruppe ist zusammengesetzt aus einer endlichen Anzahl von endlichen einfachen Gruppen. Allerdings kann diese Zusammensetzung kompliziert sein, und trotz der Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.

Die folgende Jahreszahl ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Die fraglichen Angaben werden daher möglicherweise demnächst entfernt. Bitte hilf der Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst. Näheres ist eventuell auf der Diskussionsseite oder in der Versionsgeschichte angegeben. Bitte entferne zuletzt diese Warnmarkierung.
Vgl. Überarbeitungs-Baustein unter Endliche einfache Gruppe#Klassifikation.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe).

Zu den sporadischen Gruppen zählen die Conway-Gruppe, das Babymonster und die Monstergruppe (mit fast 1054 Elementen die größte sporadische Gruppe).

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene Raumgruppen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]