Energie-Zeit-Unschärferelation

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Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik.

In vorläufiger Form wurde sie 1927 von Werner Heisenberg gefunden und mit der gleichzeitig gefundenen Unschärferelation für Ort und Impuls zunächst auf eine Stufe gestellt.[1] Wie die Ort-Impuls-Unschärferelation ist die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und nicht eine Folge unzulänglicher Messungen. Die beiden Relationen zeigen aber grundsätzliche Unterschiede, die auch jeweils eine eigene Interpretation erforderlich macht. Während Ort und Impuls eines Teilchens zu jedem Zeitpunkt beobachtbare Größen sind, wie sie in der Quantenmechanik durch Orts- und Impuls-Operatoren dargestellt werden, ist die Zeit keine im selben Sinne beobachtbare Größe und kann nicht widerspruchsfrei durch einen Zeitoperator dargestellt werden.[2]

Heisenberg leitete für das Produkt aus der Ungenauigkeit einer Energiemessung und der Dauer , die diese Messung mindestens beansprucht, die Abschätzung

her, wobei das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist. Diese Form wird auch heute noch häufig benutzt. Dies kann zu einer echten Ungleichung

verschärft werden, in der die Standardabweichung der im System vertretenen Energiewerte ist und die kleinstmögliche Zeitspanne, in der sich der Erwartungswert einer Observablen um eine Standardabweichung verändert.[3]

Auch ohne Bezug auf den Begriff Messgenauigkeit gilt in der Quantenmechanik grundsätzlich, dass ein System, dessen Zustand nicht zeitlich konstant bleibt, keine scharf bestimmte Energie haben kann. Denn nur die Eigenzustände zum Energieoperator sind stationäre Zustände. Je nach betrachtetem Fall können sich unterschiedliche Abschätzungen für das kleinstmögliche Produkt aus der Spannweite der beteiligten Energiewerte und einer für die Änderung des Systems charakteristischen Zeitspanne ergeben.

In populärwissenschaftlichen Darstellungen heißt es gelegentlich, die Energie-Zeit-Unschärferelation erlaube, für eine kurze Zeit die Energieerhaltung um den Betrag zu verletzen; dies erkläre die "virtuellen Zustände" und Vakuumfluktuationen in der Störungstheorie in Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie. Dies ist nicht korrekt. Die Energieerhaltung ist immer strikt gewährleistet, und die genannten Begriffe aus der Störungstheorie bezeichnen mathematische Konstrukte, die als solche unbeobachtbar sind.

Wegen des quantenmechanischen Zusammenhangs zwischen Energie und Kreisfrequenz lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben:

.

Diese Relation wird z. B. in der Hochfrequenztechnik verwendet, um die Zeit zu errechnen, die man praktisch benötigt, um eine Frequenz mit der Ungenauigkeit zu bestimmen.

Herleitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine allgemeine formale Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die formale Herleitung legt die verallgemeinerte Form der Unschärferelation für den Hamilton-Operator und einen beliebigen anderen Operator zugrunde:[4]

Darin ist die Standardabweichung der Energie und die Standardabweichung der Observablen im betrachteten Zustand. Da aber für nicht die Zeit gewählt werden darf, weil diese im Gegensatz zu Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie etc. nicht durch einen Operator dargestellt werden kann, wird der Umweg über die zeitliche Änderung des Erwartungswerts von genommen. Die Änderungsgeschwindigkeit ist nach dem Ehrenfest-Theorem

,

also gilt

.

Die Zeitspanne wird eingeführt, indem

.

gesetzt wird. ist also kein Maß für eine Streuung, sondern die Zeit, die verstreichen muss, damit die Observable sich um eine Standardabweichung ändert. Wenn die letzte Ungleichung mit multipliziert wird, lässt sich herauskürzen. Übrig bleibt die gesuchte Unschärferelation:

.

Da die rechte Seite der Ungleichung nicht von der Wahl von abhängt, gilt sie allgemein und kann sie bei keiner Observablen unterschritten werden.

Energieunschärfe und Lebensdauer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit einer anderen physikalischen Interpretation gilt eine ähnliche Energie-Zeit-Unschärferelation beim Zerfall eines Systems in einem metastabilen Zustand in zwei Teilchen, also auch bei jeder Art von Emission. Hier ist die Relation durch eine Gleichung gegeben:

.

Darin steht nicht für die Standardabweichung, sondern für die Halbwertsbreite der kinetischen Energie der Zerfallsprodukte, und nicht für eine Zeitunschärfe, sondern für die wohlbestimmte mittlere Lebensdauer des metastabilen Zustands. Allerdings kann man auch als eine Zeitunschärfe ansehen, weil bei einem Ensemble gleicher Systeme die einzelnen Zerfallszeiten eine exponentielle Verteilung zeigen, für die der Mittelwert auch die Standardabweichung angibt. Die Herleitung erfolgt im Rahmen der Resonanztheorie für die Streuung an einem Potentialtopf.[5] Sie gilt für jedes zerfallende System, denn dieses lässt sich als Resonanz in der Umkehrreaktion auffassen, wenn also die Zerfallsprodukte aneinander gestreut werden.

Weitere Einzelbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt eine Reihe weiterer Einzelbeispiele, an denen sich eine ähnliche Energie-Zeit-Unschärferelation finden lässt. Unter anderem:

  • Bezieht sich auf die Unsicherheit in der Bestimmung des Zeitpunkts, an dem ein Teilchen einen Ort passiert, dann wird die Wellenfunktion des Teilchens als Wellenpaket mit einer gewissen Ausdehnung und damit auch Energieunschärfe modelliert. Bei gegebener (mittlerer) Geschwindigkeit ist proportional zur Länge des Wellenpakets, die ihrerseits umgekehrt proportional zur Energieunschärfe ist.[6] Es ergibt sich .
  • Daraus abgeleitet ergibt sich, dass eine Energiemessung mit der Genauigkeit mindestens die Zeit erfordert.
  • Befindet sich das System in einem Überlagerungszustand aus zwei Niveaus mit Energieabstand , dann schwingt die Wellenfunktion mit der Periode zwischen der symmetrischen und der antisymmetrischen Form hin und her.[7]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198, doi:10.1007/BF01397280 (Originalarbeit als PDF; 2,7 MB).
  2. Die Energie-Zeit-Unbestimmtheitsrelation (PDF)
  3. Eckhard Rebhan: Theoretische Physik II. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, München 2005, S. 96 ff.
  4. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68868-6, Seite 220ff
  5. John M. Blatt, Viktor Weisskopf: Theoretische Kernphysik. 1. Auflage. B.G.Teubner, Leipzig 1959, S. 354 ff.
  6. Franz Schwabl: Quantenmechanik - Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, S. 101 ff.
  7. Albert Messiah: Quantum Mechanics I. North Holland Publishing, Amsterdam 1970, ISBN 0-7204-0044-9, S. 136 ff.