Energie-Zeit-Unschärferelation

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Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik.

Sie wurde zuerst von Werner Heisenberg zusammen mit der Unschärferelation für Ort und Impuls publiziert, beschreibt jedoch einen grundsätzlich anderen Zusammenhang. Versuche, die Energie-Zeit-Unschärfe durch Einführung eines Zeitoperators \hat t direkt auf die Ort-Impuls-Unschärferelation zurückzuführen, ergeben Widersprüche.[1] Wie die Ort-Impuls-Unschärferelation ist die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und nicht eine Folge von Unzulänglichkeiten im Messprozess.

Formal wurde die Energie-Zeit-Unschärferelation von Heisenberg wie folgt formuliert:[2][3]

 \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} ,

wobei \hbar das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist.

Anders als die Unschärferelation für Ort und Impuls lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation nicht stringent aus dem Standardformalismus der Quantenmechanik herleiten.

Wegen des quantenmechanischen Zusammenhangs E = \hbar \cdot \omega zwischen Energie und Kreisfrequenz \omega lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben:

\Leftrightarrow \Delta \omega \cdot \Delta t \ge \frac{1}{2}.

Herleitungen[Bearbeiten]

Heuristisch lässt sich die Zeit-Energie-Unschärferelation folgendermaßen ableiten:

\Delta E\cdot\Delta t 
= F\Delta x\cdot\Delta t
\approx \left (\frac{\Delta p}{\Delta t}\,\Delta x \right )\cdot\Delta t
= \Delta p\cdot \Delta x \ge \frac{\hbar}{2} .

In dieser Gleichungskette wurde verwendet, dass sich die Energie aus dem Produkt von Kraft F und Weg \Delta x ergibt. Die Kraft F entspricht dabei der zeitlichen Ableitung des Impulses. Das letzte Ungleichheitszeichen ergibt sich aus der Ort-Impuls-Unschärferelation.

In einer formaleren Herleitung definiert man – für den Fall eines nicht explizit zeitabhängigen Hamilton-Operators H und einer ebenfalls nicht explizit zeitabhängigen Observablen A – für A eine Zeit, in der sich A um eine Standardabweichung \Delta A ändert:

\Delta t_{A} = \frac{\Delta A}{\left|\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle\right|}.

Aus dem Ehrenfest-Theorem folgt

\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle = \frac{i}{\hbar}\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle

H ist der Hamilton-Operator des Systems.

Nun lässt sich die verallgemeinerte Form der Unschärferelation anwenden, so dass folgt:

 \Delta E \Delta A \geq \frac{1}{2} \left|\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle\right| = \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle \right| \qquad \Rightarrow \qquad \Delta E \Delta t_{A} \geq \frac{\hbar}{2}.

Als letzter Argumentationsschritt wird der Index A von t_{A} weggelassen, da eine solche Eigenzeit für jede Observable definiert werden kann.[4]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Die Energie-Zeit-Unbestimmtheitsrelation (PDF)
  2.  W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198, doi:10.1007/BF01397280 (Originalarbeit als HTML).
  3. Werner Heisenberg: Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1930.
  4. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68868-6, Seite 220ff

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-68868-4. Seite 220ff

Siehe auch[Bearbeiten]