Epigraph (Mathematik)

Der Epigraph einer Funktion

In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

$\operatorname {epi} f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} \,:\,f(x)\leq \mu \right\}\subseteq X\times \mathbb {R}$

Ist der Bildraum der Funktion der $\mathbb {R} ^{n}$ versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$, so ist der Epigraph definiert als

$\operatorname {epi} f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} ^{n}\,:\,f(x)\preccurlyeq _{K}\mu \right\}\subseteq X\times \mathbb {R} ^{n}$.

Eigenschaften

Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe Menge

Sei $X$ ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum. Für Funktionen $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ gilt:

• $f$ ist genau dann konvex, wenn der Epigraph von $f$ eine konvexe Menge bildet.
• $f$ ist genau dann halbstetig von unten, wenn der Epigraph von $f$ eine abgeschlossene Menge bildet.
• $f$ ist genau dann schwach unterhalbstetig, wenn der Epigraph von $f$ eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist.
• Ist $f$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in $X$.

Ist der Bildraum der Funktion der $\mathbb {R} ^{n}$, so ist sie genau dann K-konvex, wenn der Epigraph konvex ist.

Siehe auch

• Hypograph

Literatur

• Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4
• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5. 

Weblinks

Commons: Epi- und Hypographen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien