Epigraph (Mathematik)

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In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion f : X \to \mathbb{R} die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

\mathrm{epi}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, f(x)\le \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}

Ist der Bildraum der Funktion der  \R^n versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung  \preccurlyeq_K , so ist der Epigraph definiert als

\mathrm{epi}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R}^n \, : \, f(x)\preccurlyeq_K \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}^n.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe Menge

Sei X ein normierter \mathbb{R}-Vektorraum. Für Funktionen f : X \rightarrow \mathbb{R} gilt:

Ist der Bildraum der Funktion der  \R^n , so ist sie genau dann K-konvex, wenn der Epigraph konvex ist.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4
  •  Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5, LCCN 2006-938674.