Epsilon-Induktion

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Unter Epsilon-Induktion (auch ∈-Induktion) versteht man in der Mathematik ein spezielles Beweisverfahren der Mengenlehre. Gilt es zu beweisen, dass eine Aussage für alle Mengen gilt, so reicht es laut Epsilon-Induktion zu zeigen, dass sie für die Mengen gilt, für deren Elemente sie gilt. Präzise ausgedrückt besagt die Epsilon-Induktion also

Die Gültigkeit der Epsilon-Induktion lässt sich in ZF (das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig) beweisen. Maßgeblich geht in den Beweis das Regularitätsaxiom ein. So lässt sich sogar zeigen, dass die Epsilon-Induktion zum Regularitätsaxiom äquivalent ist. Das heißt, tauschte man in ZF das Regularitätsaxiom gegen die Epsilon-Induktion aus, so entstünde ein äquivalentes Axiomensystem.

Ihren Namen hat die Epsilon-Induktion dem griechischen Kleinbuchstaben ε zu verdanken, aus dem sich das heutige Elementzeichen entwickelte.

Beweisskizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Meist beweist man die Epsilon-Induktion durch Widerspruch. Wäre sie falsch, so gäbe es bei erfüllter Voraussetzung also eine Menge , welche nicht erfüllt. Nun betrachtet man die Menge

wobei die transitive Hülle von ist, also eine transitive Menge, die als Teilmenge enthält. Per Voraussetzung kann nicht leer sein, also liefert uns die Regularität ein epsilon-minimales Element . Jedes Element von kann wegen der Epsilon-Minimalität von nicht mehr in sein. Die Elemente von sind aber aufgrund der Transitivität von in . Also gilt für alle die Aussage . Die Voraussetzung liefert uns nun , dies impliziert aber den gewünschten Widerspruch .

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Epsilon-Induktion wird zum Beispiel dafür benutzt, zu zeigen, dass jede Menge in der Von-Neumann-Hierarchie enthalten ist. Zu jeder Menge findet man also eine Ordinalzahl mit . In dem entsprechenden Beweis ist die Aussage also durch

definiert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Thomas Jech: Set Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-44085-2.