Erblichkeit (Mathematik)

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In der Mathematik liefert die Länge einer projektiven Auflösung eines Moduls über einem Ring in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring heißt erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven -Moduls projektiv ist.[1] Das heißt, jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-kommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring heißt links-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven -Linksmoduls projektiv ist.[2] Entsprechend heißt ein Ring rechts-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven -Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links- aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt (s.u.).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Körper ist erblich, da alle -Moduln (= -Vektorräume) frei und damit projektiv sind.
  • Jeder halbeinfache Ring ist erblich, da jeder Modul über dem Ring projektiv ist.
  • Jeder Hauptidealring ist erblich, da hier projektive Moduln frei sind und Untermoduln freier Moduln ebenfalls frei sind.
  • ist links-erblich aber nicht rechts-erblich.[3]
  • Jede Wegealgebra eines Köchers ist erblich.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Louis D. Tarmin: Lineare Algebra Moduln 2, Tschampel BuchMat 4.B (2008), ISBN 3-934-67151-9, Definition 1.134.1
  2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.8.11
  3. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Aufgabe 2.8.5