Ergodentheorie

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Die Ergodentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sowohl der Maßtheorie und Stochastik als auch der Theorie dynamischer Systeme zugeordnet wird. Die Ursprünge der Ergodentheorie liegen in der statistischen Physik. Der Name leitet sich von griechischen έργον (Werk) und όδος (Weg) ab. Einzelheiten des physikalischen Begriffs siehe Ergodizität.

Vorbereitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel einer (Lebesgue-) maßerhaltenden Abbildung: mit

Man nennt zu einem Wahrscheinlichkeitsraum eine messbare Abbildung maßerhaltend, falls das Bildmaß von unter wieder ist, d. h. für alle Mengen aus der σ-Algebra . Entsprechend heißt das 4-Tupel maßerhaltendes dynamisches System.

Eine Menge heißt außerdem -invariant, falls sie mit ihrem Urbild übereinstimmt, wenn also gilt. Das Mengensystem aller -invarianten Mengen bildet hierbei eine σ-Algebra. Analog dazu heißt eine Menge quasi-invariant, falls die symmetrische Differenz der Menge mit ihrem Urbild bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes eine Nullmenge bildet, also wenn gilt .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine maßerhaltende Transformation heißt nun ergodisch, falls für alle T-invarianten Mengen A gilt, dass . Die Mengen bilden also eine P-triviale σ-Algebra. Das 4-Tupel bestehend aus Wahrscheinlichkeitsraum und ergodischer maßerhaltender Abbildung heißt dementsprechend ergodisches dynamisches System.

Neben dieser Definition gibt es eine Reihe äquivalenter Charakterisierungen. Falls ein maßerhaltendes dynamisches System ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist ergodisches maßerhaltendes System.
  • Für jede quasi-invariante Menge gilt entweder oder .
  • Jede -messbare Funktion ist -fast sicher konstant.
  • Für alle gilt: .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mathematisch gesehen stellt der Birkhoffsche Ergodensatz für ergodische Maßtransformationen eine Variante des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar. Dabei können durchaus auch abhängige Zufallsvariablen betrachtet werden. Dasselbe gilt für den Lp-Ergodensatz.

Beispiele ergodischer Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rotation auf dem Einheitskreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte das System bestehend aus der Menge , der Borel-σ-Algebra , dem Lebesguemaß und der Abbildung . Dieses System ist für alle maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn nicht rational ist, sprich wenn gilt .

Bernoulli-Shift[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch beim Bernoulli-Shift handelt es sich um eine ergodische Abbildung: Betrachte den Grundraum der --Folgen mit zugehöriger Produkt-σ-Algebra und zugehörigem unendlichen Produktmaß definiert durch . Bei der Bernoulli-Abbildung handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum , das heißt ist definiert als

Dann ist das 4-Tupel ein ergodisches dynamisches System.

Gauß-Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der Grundraum und die entsprechende Borelsche σ-Algebra. Definiere die Gauß-Abbildung durch

Falls nun als Maß das Gaußmaß , , gewählt wird, so handelt es sich bei um ein ergodisches dynamisches System.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Historisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • G. D. Birkhoff: Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 S. 656–660. pdf. Bei: PNAS.org
  • J. von Neumann: Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 S. 70–82. pdf. Bei: PNAS.org
  • J. von Neumann: Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 S. 263–266. doi:10.1073/pnas.18.3.263
  • E. Hopf: Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, (1939) Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. 91, S. 261–304.
  • S. V. Fomin and I. M. Gelfand: Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature, (1952) Uspehi Mat. Nauk 7 no. 1. S. 118–137.
  • F. I. Mautner: Geodesic flows on symmetric Riemann spaces, (1957) Ann. of Math. 65 S. 416–431. JSTOR 1970054
  • C. C. Moore: Ergodicity of flows on homogeneous spaces, (1966) Amer. J. Math. 88, S. 154–178. JSTOR 2373052

Modern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • D.V. Anosov: Ergodic theory, metric theory of dynamical systems, Springer
  • Wladimir Igorewitsch Arnold, André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics. New York: W.A. Benjamin. 1968.
  • Leo Breiman, Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3. (See Chapter 6.)
  • Peter Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, New York, 1982, ISBN 0-387-95152-0.
  • Tim Bedford, Michael Keane, Caroline Series (Hrsg.): Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces. Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853390-X.
  • Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis, (1993) appearing in Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, eds., Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0.
  • Manfred Einsiedler, Thomas Ward: Ergodic theory with a view towards number theory. Graduate Texts in Mathematics, 259. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2011. ISBN 978-0-85729-020-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]