Ergodizität

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Ergodizität (griechisch έργον: Werk und όδος: Weg) ist eine Eigenschaft dynamischer Systeme. Der Begriff geht auf den Physiker Ludwig Boltzmann zurück, der diese Eigenschaft im Zusammenhang mit der statistischen Theorie der Wärme untersuchte. Ergodizität wird in der Mathematik in der Ergodentheorie untersucht.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ergodizität bezieht sich auf das mittlere Verhalten eines Systems. Ein solches System wird durch eine Musterfunktion beschrieben, die die zeitliche Entwicklung des Systems abhängig von seinem aktuellen Zustand bestimmt. Man kann nun auf zweierlei Arten mitteln:

  1. man kann die Entwicklung über einen langen Zeitraum verfolgen und über diese Zeit mitteln, also den Zeitmittelwert bilden, oder
  2. man kann alle möglichen Zustände betrachten und über diese mitteln, also das Scharmittel (Ensemble-Mittel) bilden.

Streng ergodisch wird ein System dann genannt, wenn die Zeitmittel und Scharmittel mit der Wahrscheinlichkeit eins zum gleichen Ergebnis führen. Anschaulich bedeutet das, dass während der Entwicklung des Systems alle möglichen Zustände erreicht werden, der Zustandsraum also mit der Zeit vollständig ausgefüllt wird. Das bedeutet insbesondere, dass bei solchen Systemen der Erwartungswert nicht vom Anfangszustand abhängig ist.[1]

Als schwach ergodisch wird ein System bezeichnet, wenn in beiden Fällen nur der Erwartungswert und die Varianz übereinstimmen und Momente höherer Ordnung vernachlässigt werden.

Der exakte mathematische Nachweis der Ergodizität, insbesondere der Nachweis der strengen Ergodizität, lässt sich nur in Sonderfällen erbringen. In der Praxis wird der Nachweis der schwachen Ergodizität an einer oder einigen wenigen Musterfunktionen vorgenommen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches physikalisches Beispiel für ein ergodisches System ist ein Teilchen, das sich regellos in einem abgeschlossenen Behälter bewegt (Brownsche Bewegung). Den Zustand dieses Teilchens kann man dann vereinfacht durch seine Position im dreidimensionalen Raum beschreiben, der durch den Behälter begrenzt wird. Dieser Raum ist dann auch der Zustandsraum, und die Bewegung in diesem Raum kann durch eine zufällige Funktion (genauer: einen Wiener-Prozess) beschrieben werden. Verfolgt man nun die Bahnkurve des Teilchens, wird dieses nach genügend langer Zeit jeden Punkt des Behälters passiert haben (genauer: jedem Punkt beliebig nahe gekommen sein). Daher ist es egal, ob man eine Mittelung über die Zeit oder den Raum macht – das System ist ergodisch.

In der statistischen Mechanik ist die Annahme, dass sich reale Teilchen tatsächlich ergodisch verhalten, von zentraler Bedeutung für die Ableitungen makroskopischer thermodynamischer Größen, siehe Ergodenhypothese.

Ein weiteres Beispiel ist das Würfeln: Die mittlere Augenzahl von 1000 Würfelwürfen kann man sowohl dadurch ermitteln, dass man mit einem Würfel 1000-mal hintereinander würfelt, als auch dadurch, dass man mit 1000 Würfeln einmal gleichzeitig würfelt. Das liegt daran, dass die 1000 gleichzeitig geworfenen Würfel alle in leicht verschiedenen Zuständen (Lage im Raum, Ausrichtung der Kanten, Geschwindigkeit etc.) sein werden und damit ein Mittel über den Zustandsraum darstellen. Daher kommt auch der Begriff Scharmittel: Bei einem ergodischen System kann man die Eigenschaften einer ganzen „Schar“ von Anfangszuständen gleichzeitig bestimmen und damit dieselbe statistische Information gewinnen, wie wenn man einen Anfangszustand für einen längeren Zeitraum betrachtet. Dies wird auch bei Messungen ausgenutzt, um bei verrauschten Daten zuverlässige Ergebnisse in kurzer Zeit zu gewinnen.

Ein einfaches Beispiel für einen nicht ergodischen Prozess erhält man so: Eine „faire Münze“ wird einmal geworfen. Falls „Kopf“ fällt, nimmt man die konstante Folge , anderenfalls die konstante Folge . Die Scharmittel sind hier gleich , die Zeitmittel jedoch 1 oder 0 (jeweils mit Wahrscheinlichkeit ).

Ein weiteres Beispiel für einen nicht ergodischen Prozess schlug Marc Elsberg[2] vor: Gespielt wird ein Spiel, in dem jeder Spieler zu Beginn 100 € einsetzt. Für jeden Spieler wird dann 100 Runden lang eine Münze geworfen. Bei Kopf wird 50 % des derzeitigen Vermögens gewonnen und bei Zahl 40 % verloren. Ist die Münze fair, so beträgt der Ensemblemittelwert nach einer Runde . In der zweiten Runde beträgt der Ensemblemittelwert . Die beiden Rechnungen legen die Vermutung nahe, dass der Ensemblemittelwert in jeder Runde um 5 % steigt. Das ist tatsächlich der Fall, denn nach der n-ten Runde können die Vermögen auftreten. Diese Vermögen sind binomialverteilt; das zu k zugehörige Vermögen tritt also mit der Wahrscheinlichkeit auf. Für den Ensemblemittelwert erhält man folglich:

Wäre der Prozess ergodisch sollte jeder Spieler nach einhundert Runden ein Vermögen von etwa 13 150 € erwarten. Ein einzelner Spieler interessiert sich jedoch eher für den Zeitmittelwert. Um diesen zu berechnen betrachten wir unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen , die mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50 % den Wert 0,6 oder 1,5 anzeigt. Daraus bilden wir die neue Zufallsvariable und ermitteln deren Erwartungswert. Indem wir die neue Zufallsvariable logarithmieren erhalten wir die transformierte Zufallsvariable
Die die Zufallsvariablen identisch verteilt sind, kann mithilfe der Linearität des Erwartungswertes die Gleichheit

gefolgert werden. Für den Erwartungswert der Zufallsvariable gilt . Ein einzelner Spieler muss also nach einhundert Runden mit einem Vermögen von etwa 0,52 € rechnen.

Ergodizität in der Zeitreihenanalyse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die statistische Inferenz mit Zeitreihen müssen Annahmen getroffen werden, da in der Praxis meist nur eine Realisierung des die Zeitreihe generierenden Prozesses vorliegt. Die Annahme der Ergodizität bedeutet, dass Stichprobenmomente, die aus einer endlichen Zeitreihe gewonnen werden, für quasi gegen die Momente der Grundgesamtheit konvergieren. Für und konstant:
mittelwertergodisch:

varianzergodisch:
Diese Eigenschaften bei abhängigen Zufallsvariablen lassen sich nicht empirisch nachweisen und müssen daher unterstellt werden. Damit ein stochastischer Prozess ergodisch sein kann, muss er sich in einem statistischen Gleichgewicht befinden, d. h., er muss stationär sein.

Besondere Anwendungsfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ergodizitätsökonomie untersucht, unter welchen Bedingungen Agenten mit ähnlicher Qualifikation – entgegen klassischer Wettbewerbssituationen – kooperieren und langfristig individuelles Risiko minimieren.[3][4] Es wird damit als Ansatz gegen die Spaltung westlicher Gesellschaften interpretiert.[5][6]

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eng verwandt ist der Begriff der Mischung, er stellt eine Verschärfung der Ergodizität dar. Zur feineren Klassifikation teilt man die Mischungen dann noch ein in „stark mischend“ und „schwach mischend“.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Walters: An introduction to ergodic theory. Springer, New York 1982, ISBN 0-387-95152-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_6/advanced/t6_3_1.html
  2. Marc Elseberg: Gier – Wie weit würdest du gehen? Blanvalet, ISBN 978-3-7341-0558-6.
  3. Ole Peters, Murray Gell-Mann: Evaluating gambles using dynamics. In: Chaos. An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. American Institute of Physics, 2. Februar 2016, abgerufen am 6. Januar 2020 (englisch).
  4. Ole Peters: The ergodicity problem in economics. In: Nature Physics. Nature Research, 2. Dezember 2019, abgerufen am 6. Januar 2020 (englisch).
  5. Mark Buchanan: How ergodicity reimagines economics for the benefit of us all. In: Aeon. Aeon Media Group Ltd., 14. August 2019, abgerufen am 6. Januar 2020 (englisch).
  6. Paul Jerchel: Es ist mehr, wenn wir teilen. In: Contraste. Verein zur Förderung von Selbstverwaltung und Ökologie e.V. (Hrsg.): Contraste. Zeitung für Selbstorganisation. Band 37, Nr. 428, Mai 2020, ISSN 0178-5737, S. 8.