Euklidische Relation
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Eine euklidische Relation ist in der Mathematik eine binäre Relation, für die Euklids Axiom „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“[1] gilt.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine binäre Relation auf einer Menge heißt euklidisch (oder auch rechts-euklidisch), wenn für beliebige Elemente in die folgende Bedingung erfüllt ist: steht zu und zu in gleicher Beziehung, so steht auch zu in dieser Beziehung.[2] Dies lässt sich auch prädikatenlogisch ausdrücken mit .
Dual dazu heißt eine Relation auf links-euklidisch, wenn für beliebige in gilt: stehen sowohl als auch in Beziehung zu , dann steht auch in Beziehung zu , formal .
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die Eigenschaft euklidisch zu sein unterscheidet sich von der Transitivität. Zum Beispiel ist die Relation ≤ auf den natürlichen Zahlen transitiv, doch nicht rechts-euklidisch,[3] während die durch definierte Relation auf den natürlichen Zahlen nicht transitiv,[4] jedoch rechts-euklidisch ist.
- Für eine symmetrische Relation sind die Eigenschaften Transitivität, rechts- und links-euklidisch koinzident. Doch kann auch eine nicht-symmetrische Relation sowohl transitiv als auch rechts-euklidisch sein, z. B. definiert durch =0.
- Eine Relation, die sowohl rechts-euklidisch als auch reflexiv ist, ist notwendig auch symmetrisch und damit eine Äquivalenzrelation.[2][5] Ebenso ist jede links-euklidische und reflexive Relation notwendig eine Äquivalenz.
- Der Bildbereich einer rechts-euklidischen Relation ist stets eine Teilmenge[6] ihres Urbildbereichs. Die Einschränkung einer rechts-euklidischen Relation auf ihren Bildbereich ist stets reflexiv[7] und somit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist der Urbildbereich einer links-euklidischen Relation stets eine Teilmenge ihres Bildbereichs, und die Beschränkung einer links-euklidischen Relation auf ihren Urbildbereich eine Äquivalenz.
- Eine Relation ist links- und rechts-euklidisch genau dann, wenn ihr Urbild- und ihr Bildbereich übereinstimmen und auf dieser Menge eine Äquivalenzrelation ist.[8]
- Eine rechts-euklidische Relation ist stets quasitransitiv,[9] ebenso eine links-euklidische Relation.[10]
- Eine konnexe rechts-euklidische Relation ist stets auch transitiv,[11] ebenso eine konnexe links-euklidische Relation.[10]
- Wenn mindestens 3 Elemente hat, kann eine konnexe rechts-euklidische Relation auf nicht antisymmetrisch sein,[12] gleiches gilt für eine konnexe links-euklidische Relation auf .[10] Auf der zweielementigen Menge ist z. B. die durch definierte Relation konnex, rechts-euklidisch und antisymmetrisch; ist auf dieser Menge konnex, links-euklidisch und antisymmetrisch.
Einzelnachweise und Anmerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Das Buch I der Elemente von Euklid enthält einleitend eine axiomatische Grundlegung, in der dieser Grundsatz als 1. Axiom allgemeiner Regeln der Gleichheit aufgeführt ist („Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα“); siehe hierzu W.-D. Geyer: Euklid: Die Elemente – eine Übersicht. Vorlesung über antike Mathematik, SS 2001, S. 3 (PDF; 275 kB).
- ↑ a b Ronald Fagin: Reasoning About Knowledge. MIT Press, 2003, ISBN 978-0-262-56200-3, S. 60 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Da z. B. und gilt, aber nicht .
- ↑ Da z. B. und gilt, aber nicht .
- ↑ Denn aus und folgt .
- ↑ Gleichheit von Urbild- und Bildbereich ist nicht notwendig: die Relation definiert durch ist rechts-euklidisch auf den natürlichen Zahlen und ihr Bildbereich ist eine echte Teilmenge ihres Urbildbereichs ℕ.
- ↑ Wenn im Bildbereich von liegt, dann folgt aus für geeignetes , dass . Dies zeigt auch, dass im Urbildbereich von liegt.
- ↑ Die ""-Richtung folgt aus dem vorherigen Absatz. — Für die ""-Richtung nimm an, dass und gelten, dann liegen im Urbild- und im Bildbereich von ; also folgt wegen Symmetrie und Transitivität. Die links-euklidische Eigenschaft von folgt analog.
- ↑ Wenn gilt, dann liegen sowohl als auch im Bildbereich von . Da auf dieser Menge eine Äquivalenz ist, folgt aus schon der Widerspruch .
- ↑ a b c Mit einem analogen Argument, das die Lage von und im Urbildbereich von verwendet.
- ↑ Wenn gilt, dann liegen und im Bildbereich von . Da konnex ist, gilt oder oder .
- ↑ Da konnex ist, liegen in ihrem Bildbereich mindestens zwei verschiedene Elemente und , für die gilt . Es gilt sogar . Dies widerspricht der Antisymmetrie.