Euklidische Zahl

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In der Zahlentheorie ist eine Euklidische Zahl eine natürliche Zahl der Form , wobei das Produkt der ersten Primzahlen bis ist (Primfakultät).

Namensherkunft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Zahlen wurden nach dem altgriechischen Mathematiker Euklid benannt, welcher im Satz von Euklid als erster bewiesen hat, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dabei multiplizierte er eine Menge von Primzahlen, addierte Eins dazu und erhielt eine neue Zahl, die keinen der vorherigen Primzahlen als Teiler haben konnte. Entweder war diese Zahl also eine Primzahl, oder sie hatte Primteiler, die in der vorherigen Primzahlmenge nicht aufgetaucht sind. Euklidische Zahlen, die Primzahlen sind, werden als Euklidische Primzahlen bezeichnet (nicht alle Euklidischen Zahlen sind Primzahlen).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die erste Euklidische Zahl lautet in der Literatur entweder oder , je nachdem, ob man definiert[1] oder nicht.[2]
  • Die ersten vier Primzahlen sind und . Das Produkt dieser vier Primzahlen ergibt die Primfakultät . Somit ist die Euklidische Zahl .
  • Die ersten Euklidischen Zahlen lauten (beginnend mit ):
(2), 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, 7420738134811, 304250263527211, 13082761331670031, 614889782588491411, 32589158477190044731, 1922760350154212639071, 117288381359406970983271, 7858321551080267055879091, … (Folge A006862 in OEIS)
  • Diese Euklidischen Zahlen haben einen oder mehrere Primfaktoren. Die folgende Liste gibt die kleinsten dieser Primfaktoren für an (mit ):
(2), 3, 7, 31, 211, 2311, 59, 19, 347, 317, 331, 200560490131, 181, 61, 167, 953, 73, 277, 223, 54730729297, 1063, 2521, 22093, 265739, 131, 2336993, 960703, 2297, 149, 334507, 5122427, 1543, 1951, 881, 678279959005528882498681487, 87549524399, 23269086799180847, … (Folge A051342 in OEIS)
Beispiel:
Der obigen Liste kann man entnehmen, dass an der 7. Stelle (ohne ) die Zahl steht. Somit ist der kleinste Teiler von die Zahl .
  • Die folgende Liste gibt die größten dieser Primfaktoren für an (mit ):
(2), 3, 7, 31, 211, 2311, 509, 277, 27953, 703763, 34231, 200560490131, 676421, 11072701, 78339888213593, 13808181181, 18564761860301, 19026377261, 525956867082542470777, 143581524529603, 2892214489673, 16156160491570418147806951, 96888414202798247, 1004988035964897329167431269, … (Folge A002585 in OEIS)
Beispiel:
Der obigen Liste kann man entnehmen, dass an der 7. Stelle (ohne ) die Zahl steht. Somit ist der größte Teiler von die Zahl .
  • Die folgende Liste gibt die ersten an, für die die Euklidische Zahl prim ist:
(0), 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, 4413, 13494, 31260, 33237, … (Folge A014545 in OEIS)
Beispiel:
An der 6. Stelle obiger Liste (ohne ) steht die Zahl . Somit ist die 6. Euklidische Primzahl.
  • Die bisher größte bekannte Euklidische Primzahl (Stand: 8. Juli 2018) ist . Sie hat Stellen und wurde am 20. September 2001 von Daniel Heuer entdeckt.[3]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nicht alle Euklidischen Zahlen sind Primzahlen.
Beweis:
Schon die sechste Euklidische Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl: .
Beweis:
Es genügt ein Gegenbeispiel:
und haben den größten gemeinsamen Teiler .
  • Sei eine beliebige Euklidische Zahl. Dann gilt:
mit
Mit anderen Worten:
Beweis:
Das Produkt von ungeraden (Prim-)Zahlen ist wieder ungerade und, mit Kongruenzen geschrieben, somit entweder oder . Die Primfakultät ist das Produkt von und mehreren ungeraden Primzahlen und somit entweder oder . Sie ist also in beiden Fällen . Für eine Euklidische Zahl muss man noch zur Primfakultät dazuzählen und erhält , was zu zeigen war.
  • Sei eine Euklidische Zahl mit . Dann gilt:
Die letzte Stelle (also die Einerstelle) von ist immer .
Mit anderen Worten:
  • mit für
  • für
Beweis:
Für muss sein. Somit ist auf jeden Fall durch und und somit auch durch teilbar. hat an der Einerstelle also eine . Addiert man noch dazu, erhält man an der Einerstelle eine .
  • Sei eine Euklidische Zahl. Dann gilt:
für alle
Beweis:
Der Beweis ergibt sich aus der Definition der Euklidischen Zahlen. mit und . Somit ist

Ungelöste Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Existieren unendlich viele Euklidische Primzahlen?
  • Sind alle Euklidischen Zahlen quadratfrei?[4]

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Euklidische Zahl der 2. Art (oder auch Kummer-Zahl, benannt nach Ernst Eduard Kummer[5][6]) ist eine ganze Zahl der Form , wobei das Produkt der ersten Primzahlen bis ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die ersten vier Primzahlen sind und . Das Produkt dieser vier Primzahlen ergibt die Primfakultät . Somit ist die vierte Euklidische Zahl der 2. Art die Zahl .
  • Die ersten Euklidischen Zahlen der 2. Art lauten:
1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, 7420738134809, 304250263527209, 13082761331670029, 614889782588491409, 32589158477190044729, 1922760350154212639069, … (Folge A057588 in OEIS)
  • Diese Euklidischen Zahlen der 2. Art haben einen oder mehrere Primfaktoren. Die folgende Liste gibt die kleinsten dieser Primfaktoren für an (mit ):
1, 5, 29, 11, 2309, 30029, 61, 53, 37, 79, 228737, 229, 304250263527209, 141269, 191, 87337, 27600124633, 1193, 163, 260681003321, 313, 163, 139, 23768741896345550770650537601358309, 66683, 2990092035859, 15649, 17515703, 719, 295201, 15098753, 10172884549, 20962699238647, 4871, 673, 311, 1409, 1291, 331, 1450184819, 23497, 711427, 521, 673, 519577, 1372062943, 56543, 811, 182309, 53077, 641, 349, 389, … (Folge A057713 in OEIS)
Beispiel:
Der obigen Liste kann man entnehmen, dass an der 7. Stelle die Zahl steht. Somit ist der kleinste Teiler von die Zahl .
  • Die folgende Liste gibt die größten dieser Primfaktoren für an (mit ):
1, 5, 29, 19, 2309, 30029, 8369, 929, 46027, 81894851, 876817, 38669, 304250263527209, 92608862041, 59799107, 1143707681, 69664915493, 1146665184811, 17975352936245519, 2140320249725509, … (Folge A002584 in OEIS)
Beispiel:
Der obigen Liste kann man entnehmen, dass an der 7. Stelle die Zahl steht. Somit ist der größte Teiler von die Zahl .
  • Die folgende Liste gibt die ersten an, für die die Euklidische Zahl der 2. Art prim ist:
2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, 67132, 85586, … (Folge A057704 in OEIS)
Beispiel:
An der 6. Stelle obiger Liste steht die Zahl . Somit ist die 6. Euklidische Primzahl der 2. Art.
  • Die bisher größte bekannte Euklidische Primzahl 2. Art (Stand: 8. Juli 2018) ist . Sie hat Stellen und wurde am 28. Februar 2012 von James P. Burt entdeckt.[7][8]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nicht alle Euklidischen Zahlen der 2. Art sind Primzahlen.
Beweis:
Schon die vierte Euklidische Zahl der 2. Art ist eine zusammengesetzte Zahl: .
  • Euklidische Zahlen der 2. Art sind nicht teilerfremd zueinander.
Beweis:
Es genügt ein Gegenbeispiel:
und haben den größten gemeinsamen Teiler .
  • Sei eine Euklidische Zahl der 2. Art mit . Dann gilt:
Die letzte Stelle (also die Einerstelle) von ist immer .
Mit anderen Worten:
  • mit für
  • für
Beweis: funktioniert analog zum obigen Beweis für „normale“ Euklidische Zahlen.
Für muss sein. Somit ist auf jeden Fall durch und und somit auch durch teilbar. hat an der Einerstelle also eine . Subtrahiert man noch , erhält man an der Einerstelle eine .
  • Sei eine Euklidische Zahl der 2. Art. Dann gilt:[9]
für alle
Beweis:
Der Beweis ergibt sich aus der Definition der Euklidischen Zahlen der 2. Art. mit und . Somit ist

Ungelöste Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Existieren unendlich viele Euklidische Primzahlen der 2. Art?

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Neil Sloane: Euclid numbers: 1 + product of the first n primes. OEIS, abgerufen am 8. Juli 2018.
  2. Eric W. Weisstein: Euclid Number. Abgerufen am 8. Juli 2018.
  3. 392113# + 1 auf Prime Pages
  4. a b Neil Sloane: Euclid numbers: 1 + product of the first n primes – Comments. OEIS, abgerufen am 8. Juli 2018.
  5. Ernst Eduard Kummer: Neuer elementarer Beweis des Satzes, dass die Anzahl aller Primzahlen eine unendliche ist. In: Monatsbericht Preuß. Akad. d. Wiss. Berlin. 1878, S. 777–778.
  6. Neil Sloane: Kummer numbers: -1 + product of first n consecutive primes – References. OEIS, abgerufen am 8. Juli 2018.
  7. 1098133# - 1 auf Prime Pages
  8. 1098133# - 1auf primegrid.com (PDF)
  9. Neil Sloane: Kummer numbers: -1 + product of first n consecutive primes – Comments. OEIS, abgerufen am 8. Juli 2018.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]