Euler-Zahlen

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Dieser Artikel behandelt die ganzen Zahlen des Euler-Dreiecks.

Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl An,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als E(n,k) oder , ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von 1, …, n, in denen genau k Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau k Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl a(n,k) die Anzahl der Permutationen von 1, …, n mit genau k maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: a(n,k) = An,k−1.

Euler-Dreieck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile n = 1, erste Spalte k = 0; Folge A008292 in OEIS):

                             1
                          1     1
                       1     4     1
                    1    11    11     1
                 1    26    66    26     1
              1    57    302   302   57     1
           1    120  1191  2416  1191   120    1
        1    247  4293  15619 15619 4293   247    1
     1    502  14608 88234 156190 88234 14608 502    1
  1    ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...    1

Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:

für n > 0 mit A0,0 = 1 und A0,k = 0 für k ≠ 0. Auch die Konvention A0,−1 = 1 und A0,k = 0 für k ≠ −1 wäre sinnvoll, sie ist bei der alternativen Definition üblich.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Direkt aus der Definition folgen An,0 = 1 und An,n−1−k = An,k für n > 0 und

    für n ≥ 0.

Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel

für n, k ≥ 0 berechnet werden, insbesondere

  • Folge A000295 in OEIS,
  • Folge A000460 in OEIS und
  • Folge A000498 in OEIS.

Es gilt die Worpitzky-Identität (Worpitzky 1883)[1]

für n ≥ 0, wobei x eine Variable und ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.

Eine erzeugende Funktion für An,k ist

Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen βm wird durch die alternierende Summe

für m > 0 hergestellt.

Euler-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Euler-Zahlen als Koeffizienten von Euler-Polynomen[2]

Das Euler-Polynom An(x) ist definiert durch

also

Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel

und die erzeugende Funktion

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Julius Worpitzky: Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 94, 1883, S. 203–232
  2. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis Teil 2, Academia imperialis scientiarum Petropolitanae, 1755, S. 485–486 (lateinisch)