Eulersche Differentialgleichung

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Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form

zu gegebenen und Inhomogenität . Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur betrachtet zu werden.

Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.

Motivation der Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine genügend glatte Funktion und

, also .

Dann gilt

also

Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:

  • Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung in welche mit konstanten Koeffizienten?
  • Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, als jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?

Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:

Der Transformationssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Dann ist

eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung

Erläuterung zur Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu zeigen ist lediglich für alle . Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich

Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert

Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von lautet

Bezeichnen nun die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und die Vielfachheit von , so bildet

ein Fundamentalsystem der Gleichung für . Also ist

ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung

Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

also

Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet

und besitzt die Nullstellen

Fall 1: , beide reell.

Dann ist ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 2: .

Dann ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 3: beide nicht reell.

Dann sind komplex konjugiert zueinander. Also ist ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei , . Dann ist ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]