Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

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Die eulerschen Kreiselgleichungen oder uneindeutig eulerschen Gleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Es sind drei gekoppelte Differentialgleichungen für die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit des Körpers im körperfesten (mitrotierenden) Hauptachsensystem, dessen Basis die Hauptträgheitsachsen sind:

Darin sind jeweils für k=1,2,3

Mk die von außen angreifenden Drehmomente,
Θk die Hauptträgheitsmomente,
Lk = Θkωk die Drehimpulse,
ωk die Winkelgeschwindigkeiten und
die Winkelbeschleunigungen

im Hauptachsensystem. Gelegentlich wird auch die dazu gehörige Vektorgleichung

mit dem Trägheitstensor Θ als eulersche Kreiselgleichung angegeben. Hier bilden „·“ das Matrix-Vektor-Produkt, „ד das Kreuzprodukt von Vektoren und die Zeitableitung der Relativbewegung zum Körper.

Die Drehmomente, Hauptträgheitsmomente und Drehimpulse werden mit einem Bezugspunkt berechnet, für den sich der Massenmittelpunkt oder ein räumlich fester, in einem Inertialsystem ruhender Stützpunkt eignen, um den sich der Starrkörper dreht.

Die ersten Summanden auf den rechten Seiten, bestehend aus den Winkelbeschleunigungen und Drehimpulsänderungen, resultieren aus den Momenten von Euler-Kräften im Körper und die anderen, in den Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulsen quadratischen Terme berücksichtigen die Momente der Zentrifugalkräfte. Wenn die Bewegung bekannt ist, dann können aus diesen Gleichungen die Momente berechnet werden, die im Bezugspunkt eingeleitet werden müssen, damit der Körper die vorgegebene Bewegung ausführt.

Die Kreiselgleichungen wurden von Leonhard Euler 1750 aufgestellt und später zum Drallsatz weiterentwickelt.[1]

Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Abschnitt handelt von den Voraussetzungen und den Herleitungen der Kreiselgleichungen.

Die Kreiselgleichungen sind im mit dem Körper rotierenden Hauptachsensystem formuliert. Bezüglich dieser Achsen hat der betrachtete Körper die Hauptträgheitsmomente Θ1,2,3 ohne Deviationsmomente, so dass er sich gleichförmig frei um diese Achsen drehen kann.

Bewegte Bezugssysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Hauptachsensystem stellt sich als Vektorraumbasis dar und die Winkelgeschwindigkeit dient der Zeitableitung derselben:

Bei Vektoren, die sich im rotierenden Bezugssystem bewegen, beispielsweise beim Drehimpuls , spaltet sich die Zeitableitung auf in einen relativen Anteil und einen Anteil, der aus der Rotation des Basissystems resultiert:

Darin ist die „relative Zeitableitung“, die auch als notiert wird und bei der die Basisvektoren des Bezugssystems als konstant angenommen werden. Bei der Winkelgeschwindigkeit stimmen die Zeitableitung und die relative Zeitableitung im Hauptachsensystem überein:

Drallsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die eulerschen Kreiselgleichungen folgen aus dem Drallsatz

Darin ist das von außen angreifende Drehmoment, der Drehimpuls des Körpers und seine zeitliche Änderung jeweils um den Bezugspunkt. Es gibt verschiedene Wege, die rechte Seite zu berechnen:

  • Die direkte Berechnung der Drehimpulsänderungen im folgenden Abschnitt ist ein rein mathematischer und kurzer Nachweis der Kreiselgleichungen.
  • Die Momente der Trägheitskräfte können zur rechten Seite summiert werden. Die Trägheitskräfte entstehen als Reaktion auf das äußere Moment, das die den Körper aufbauenden Massenpunkte beschleunigt. Dieses Vorgehen gestattet eine konkrete mechanische Interpretation der Terme in den Kreiselgleichungen und ist beim Drallsatz ausgeführt.
  • Die Herleitung im Koordinatenraum unter Verwendung der Transformationsmatrizen zwischen den Bezugssystemen wird am Schluss zur Verfügung gestellt.

Direkte Berechnung der Drehimpulsänderungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Vektorgleichung gilt der Drallsatz in jedem Bezugssystem, von dem der Bewegungszustand genauestens bekannt ist, was hier beim Hauptachsensystem der Fall ist. Die Kreiselgleichungen sind die Formulierung des Drallsatzes im mit dem Körper mitrotierenden Hauptachsensystem . Dort ist

Die als Einheitsvektoren ausgedrückten Hauptachsen sind hier nicht zeitlich konstant, sondern führen synchron mit dem Starrkörper eine räumliche Drehbewegung aus, wobei die Vektoren jedoch ihren Betrag und ihre relative Lage zueinander beibehalten. Deshalb gilt mit dem Permutationssymbol :

– siehe auch oben. Die Zeitableitung des Drehimpulses berechnet sich nach obiger Regel für die Ableitung im rotierenden Bezugssystem zu

Die Drehimpulskomponenten mit den Zeitableitungen für i = 1, 2, 3 beziehen sich auf das Hauptachsensystem. Einsetzen der angegebenen Zeitableitung des Drehimpulses in den Drallsatz ergibt die Kreiselgleichungen.

Herleitung im Koordinatenraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Herleitung im Koordinatenraum wird auch noch angeboten.

Herleitung im Koordinatenraum
Von der koordinatenfreien Vektorgleichung zur Koordinatengleichung
Die eulerschen Kreiselgleichungen folgen aus dem Drehimpulssatz, der gegeben ist durch

,
wobei der Drehimpuls und die Summe aller von außen auf den Körper wirkenden Drehmomente im Massenmittelpunkt ist. Setzt man in diese Gleichung die Formel für den (Eigen-)Drehimpuls mit dem Trägheitstensor bezüglich des Massenmittelpunkts und der Winkelgeschwindigkeit ein, erhält man
.
Diese Vektorgleichung gilt in jedem Koordinatensystem, aber nur in einem körperfesten sind die Komponenten des Trägheitstensors zeitunabhängig. Die Herleitung der Kreiselgleichungen mittels Vektor/Tensor-Rechnung kann unter Drehimpulsbilanz am starren Körper nachgeschlagen werden. Hier soll der Nachweis im Koordinatenraum angegeben werden.
Es wird ein körperfestes Koordinatensystem mit Orthonormalbasis definiert, sodass die Komponenten des Trägheitstensors bezüglich dieses Basissystems zeitunabhängig sind. In diesem Abschnitt ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes – hier Θ und j – von eins bis drei zu summieren ist. Im Inertialsystem rotieren die Vektoren . Durch Darstellung des Trägheitstensors im Inertialsystem mit Standardbasis werden die Komponenten des Trägheitstensors des Starrkörpers durch die Rotation im Allgemeinen zeitabhängig:

Weil die Basis durch eine Drehung aus der Standardbasis hervorgeht, ist die Transformationsmatrix R mit Komponenten eine Drehmatrix und es gilt mit der Einheitsmatrix E und dem Zeichen „┬“ für die Transposition. Mit der Transformationsmatrix kann die obige Beziehung zwischen den Komponenten des Trägheitstensors als Matrizengleichung geschrieben werden:

Darin sind und 3×3-Matrizen mit den Komponenten bzw. . Eine analoge Transformationsbeziehung gilt auch für andere Matrizen, beispielsweise: , wobei der Index L das lokale, körperfeste Koordinatensystem anzeigt. Für einen Vektor lautet die Transformationsabbildung:

Darin sind und Spaltenmatrizen mit den Komponenten bzw. des Vektors im Inertial- bzw. körperfesten System. Weil die Vektoren und Tensoren auf diese Weise Matrizen zugeordnet werden und dann buchstäblich ihrer Basis beraubt sind, sind die mit den Matrizen aufgestellten Gleichungen nicht mehr koordinatenunabhängig. Üblicher Weise werden Spaltenmatrizen ebenfalls als Vektoren bezeichnet und mit Pfeil notiert, was im Folgenden auch geschehen soll.

Herleitung der Drehimpulsbilanz im Koordinatenraum
Setzt man diese Transformationsabbildung vom Inertialsystem ins lokale Bezugssystem in die Drehimpulsbilanz ein, so ergibt sich die Matrizengleichung:


Dabei wurden wie üblich Punkte als abkürzende Schreibweise für Zeitableitungen benutzt. Da orthogonal ist, gilt , wobei E die Einheitsmatrix bezeichnet. Leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab, erhält man

mit der Nullmatrix O, woraus folgt, dass die Matrix schiefsymmetrisch ist. Die Bedeutung dieser Matrix erkennt man, wenn man die Transformation eines beliebigen konstanten körperfesten Vektors ins Inertialsystem nach der Zeit ableitet. Unter Berücksichtigung, dass konstant ist, erhält man:

Vergleicht man die letzte Gleichung mit der Formel für die Bahngeschwindigkeit eines sich drehenden Vektors , erkennt man, dass gerade die zum Kreuzprodukt gehörige schiefsymmetrische Kreuzproduktmatrix ist. Damit lassen sich und in der letzten Gleichung für durch das Kreuzprodukt mit der Winkelgeschwindigkeit ersetzen:

Mit ergibt sich daraus

Diese Gleichung wurde hier für die Koordinaten im Inertialsystem hergeleitet, in dem die Koeffizientenmatrix des Trägheitstensors zeitveränderlich sein kann.
Bei einer Transformation ins lokale Bezugssystem L ist die Zeitableitung von zu berücksichtigen. Mit ergibt sich

Das heißt, die Zeitableitung des in mitbewegte Koordinaten transformierten Winkelgeschwindigkeitsvektors ist gerade die transformierte Winkelbeschleunigung.
Damit lässt sich die letzte Gleichung für direkt in Hauptachsenkoordinaten übertragen.

Im kräftefreien Fall ist

Alternative Herleitung
Sei eine (beliebige) zeitabhängige vektorwertige Größe in lokalen Koordinaten (Index L) und die Rotationsmatrix für die Transformation von lokalen Koordinaten in ein Inertialsystem. Die zu gehörige Winkelgeschwindigkeit in lokalen Koordinaten sei . Die Zeitableitung der Transformationsvorschrift lässt sich in der Form


darstellen. Wendet man diese Vorschrift auf den Drehimpulssatz

mit der Darstellung des Drehimpulses im lokalen Bezugssystem an, so erhält man

Setzt man mit der konstanten Koeffizientenmatrix des Trägheitstensors in Hauptachsendarstellung ein, so ergibt sich daraus die eulersche Gleichung

Nachtrag
Nachträglich soll noch eine kurze Begründung für die Gleichung gegeben werden.

Dabei hilft eine kurze Vorüberlegung zur Transformation des Kreuzproduktes. Seien drei beliebige Vektoren. Der durch aufgespannte Spat ändert unter einer Rotation sein Volumen nicht. Es gilt also Da in dieser Gleichung beliebig ist, gilt auch , also .
Die Zeitableitung von ergibt sich zu

und mit der Vorüberlegung zur Transformation des Kreuzproduktes erhält man

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kugelkreisel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kugelkreisel ist ein Kreisel mit drei identischen Hauptträgheitsmomenten Θ, sodass sich die Kreiselgleichungen dann auf

reduzieren. Die Winkelbeschleunigung ist beim Kugelkreisel also parallel zum angreifenden Moment. Beim Kugelkreisel sind die Fliehkräfte im Körper immer im mechanischen Gleichgewicht. Ein Vergleich mit den Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung zeigt, dass der Kugelkreisel das genaue Analogon des Massenpunkts bei Rotationsbewegungen ist.

Ebene Bewegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer ebenen Bewegung um eine Hauptträgheitsachse, beispielsweise die 3-Achse, entfallen Drehungen und Momente um die 1- und 2-Achsen, und die Gleichungen reduzieren sich auf

wobei φ der Drehwinkel um die 3-Achse ist.

Euler-Poisson Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Euler-Poisson Gleichungen sind die spezifischen Kreiselgleichungen für den schweren Kreisel. Dieser wurde von Joseph-Louis Lagrange und erst ein wenig später von Siméon Denis Poisson analytisch gelöst. Trotzdem sind die Gleichungen nach Poisson benannt. Beim schweren Kreisel übt die Schwerkraft ein Moment aus, weil der Bezugspunkt nicht im Massenmittelpunkt des Körpers liegt und somit für die Anwendung der Kreiselgleichungen in einem Inertialsystem festgehalten werden muss, siehe #Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem.

Im körperfesten Hauptachsensystem haben die Schwerebeschleunigung und der Massenmittelpunkt die Koordinaten:

mit Konstanten s1,2,3 im Hauptachsensystem.

In der Literatur werden die Komponenten n1,2,3 der Schwerkraftrichtung auch mit γ, γ', γ'' bezeichnet[2].

Beim schweren Kreisel beeinflusst das Schwerefeld die Kreiselbewegung durch ein Moment

Die letzte Darstellung als Spaltenvektor bezieht sich auf das Hauptachsensystem. Somit lauten die Kreiselgleichungen in Vektorform:

Die Komponenten dieser beiden Gleichungen lauten:

Weil die Lotrichtung vom Präzessionswinkel der Drehung um die Lotrichtung unabhängig ist, kann der Präzessionswinkel aus den obigen Gleichungen nicht berechnet werden. Liegt eine Lösung der Euler-Poisson-Gleichungen vor, dann kann der Präzessionswinkel ψ aus der Differentialgleichung

nachträglich ermittelt werden[3].

Lösungen der Kreiselgleichungen bei ebenen Bewegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet werden ebene Bewegungen in der 1-2-Ebene bei denen sich – wie gesagt – die Gleichungen auf

reduzieren wobei φ der Drehwinkel um die 3-Achse ist. Im ebenen Fall sind die Kreiselgleichungen oftmals analytisch lösbar, wofür die beiden folgenden Fälle als Beispiele dienen mögen.

Anstoß einer Billardkugel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 1: Anstoß einer Billardkugel parallel zur Tischplatte

Parallel zur Tischplatte soll eine Billardkugel mit Radius r, Masse m und Massenträgheitsmoment Θ so angestoßen werden, dass sie nicht über den Tisch rutscht, siehe Abb. 1. Es stellt sich die Frage, in welcher Höhe h über der Platte die Kraft F eingeleitet werden muss, damit für das schlupflose Rollen keine Reibkraft am Tisch notwendig ist.

Die exzentrisch an der Kugel angreifende horizontale Kraft entwickelt ein Moment M=-(h-r)F, das die Kugel gemäß der Kreiselgleichung

in Drehung versetzt. Das Moment ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels φ wirkt. Außerdem beschleunigt die Kraft die Kugel gemäß dem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“:

Die Beschleunigung ist parallel zum Tisch in Richtung der Kraft. Die Bedingung für schlupfloses Rollen

schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten h, φ und x ab. Damit berechnet sich

Bei einer massiven homogenen Kugel ist das Massenträgheitsmoment und somit

wobei d = 2 r der Durchmesser der Kugel ist.

Ein eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 2: Ein eine schiefe Ebene hinab rollendes Rad.

In einer ebenen Bewegung rolle ein Rad mit Radius r, Masse m und Massenträgheitsmoment Θ eine mit dem Winkel α geneigte Ebene unter Einfluss einer Schwerebeschleunigung g hinab, siehe Abb. 2. Weil sich das Rad dabei auch translatorisch bewegt, geht auch seine Masse in die Beschleunigung ein. Die Beschleunigung wächst jedoch, wenn das Massenträgheitsmoment abnimmt.

Aufgrund des schlupflosen Abrollens entsteht am Aufstandspunkt des Rades eine Reibkraft R, die das Rad in Drehung versetzt, denn es entspricht einem Moment M=-r R. Es ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels φ arbeitet. Damit lautet die Kreiselgleichung im ebenen Fall:

Die auf das Rad hangabwärts wirkende Komponente F der Gewichtskraft mg hat die Größe F=mgsin(α). Ihr entgegen steht die Reibkraft, so dass nach dem zweiten newtonschen Gesetz gilt:

worin die hangabwärts zählende Beschleunigung des Rades und sin die Sinusfunktion ist. Die Bedingung für schlupfloses Rollen schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten R, φ und x ab, die sich letztendlich ergeben zu:

Die maximale Beschleunigung bei gegebenem Gefälle stellt sich ein, wenn sich die Masse des Rades möglichst nahe an seinem Mittelpunkt konzentriert und sich somit das Massenträgheitsmoment minimiert.

Ein hangabwärts, reibungsfrei rutschender Klotz erfährt die Beschleunigung , die größer ist als die des Rades, denn beim Rad wird ein Teil der potentiellen Energie in Rotationsenergie umgesetzt, die dann für die Translation fehlt.

Lösungen der Kreiselgleichungen bei räumlichen Bewegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die technische Anwendung gibt es bedeutsame Spezialfälle räumlicher Bewegungen, bei denen sich die Kreiselgleichungen soweit vereinfachen, dass sie integrabel sind. Der Euler-, Lagrange- und Kowalewskaja-Kreisel sind die einzigen Kreisel, bei denen die Gleichungen immer integrabel sind.

Der Euler-Kreisel ist der einzige räumliche Fall, bei dem sich der Körper um seinen Massenmittelpunkt dreht. Die Lagrange- und Kowalewskaja-Kreisel sind schwere Kreisel bei denen die Schwerkraft ein Moment ausübt, was nur geht, wenn der Bezugspunkt außerhalb des Massenmittelpunkts liegt. Dann muss für die Anwendung der Kreiselgleichungen der Bezugspunkt in einem Inertialsystem festgehalten werden, siehe #Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem.

Für eine Liouville-Integrabilität sind mindestens vier Konstanten der Bewegung erforderlich[4], die in den im Folgenden aufgeführten Fällen vorhanden sind. Ansonsten können die Gleichungen nur bei speziellen Bewegungen, wie im ebenen oder im Goryachew-Chaplygin Fall, integrabel sein.

Euler-Kreisel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Fall von Euler behandelt einen Starrkörper, der genau in seinem Schwerpunkt aufgehängt ist, so dass seine Gewichtskraft keine Rolle spielt. Hier sind die vier Konstanten die Drehimpulse bezüglich aller drei Raumrichtungen x, y und z des Inertialsystems und die Rotationsenergie:

Mit der Poinsot’schen Konstruktion kann die Bewegung des Euler-Kreisels anschaulich dargestellt werden. Der eulersche Kreisel findet z. B. in Kreiselkompassen und gyroskopischen Steuersystemen technische Anwendung.

Lagrange-Kreisel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Joseph-Louis Lagrange konnte 1788 in seinem grundlegenden Werk Mécanique analytique[5] eine weitere Lösung der Kreiselgleichungen herleiten und zwar für den symmetrischen schweren Kreisel. Dies wird von radialsymmetrischen Körpern erfüllt, die auf ihrer Symmetrieachse jedoch nicht im Schwerpunkt gelagert sind. Die Erhaltungsgrößen sind die Gesamtenergie, der Drehimpuls in Richtung des Schwerefelds und der Figurenachse sowie der Betrag des Richtungsvektors der Schwerkraft:

Darin sind c0 = m g x0, m die Masse, g die Schwerebeschleunigung, x0 der Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt auf der Figurenachse, C = Θ3 das Massenträgheitsmoment um die Figurenachse und A = Θ1 = Θ2 das Massenträgheitsmoment um dazu senkrechte Achsen. Während die ersten drei Konstanten mechanischer Natur sind, ist die letzte Konstante eine rein geometrische, die daraus folgt, dass der Schwerkraftvektor immer in dieselbe Richtung weist. Diese Konstante, die Gesamtenergie und der konstante Drehimpuls in Richtung der Schwerebeschleunigung ist allen schweren Kreiseln gemeinsam, die auch in den verbleibenden beiden Fällen vorliegen.

Der Fall von Lagrange wird durch einen typischen Spielzeugkreisel realisiert, wenn dessen Aufsetzpunkt am Boden frei drehbar fixiert ist.

Kowalewskaja-Kreisel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sofja Kowalewskaja fand 1888 den letzten integrablen Fall, der einen symmetrischen schweren Kreisel behandelt, der zwei gleiche Trägheitsmomente A bezüglich der ersten beiden Hauptachsen und ein halb so großes ½A bezüglich der dritten Hauptachse besitzt. Beim Kowalewskaja-Kreisel liegt jedoch – anders als beim Lagrange-Kreisel – der Schwerpunkt nicht auf der Figurenachse, sondern senkrecht dazu. Aus Symmetriegründen kann die 1-Richtung so gewählt werden, dass der Schwerpunkt auf ihr liegt und somit ist. Die Erhaltungsgrößen sind die Energie E, der Drehimpuls in Richtung der Schwerebeschleunigung Lz, der Betrag des Richtungsvektors der Schwerkraft und die Kowalewskaja-Konstante K, für die es keine anschauliche Interpretation gibt:

Darin ist c0 = m g x0, m die Masse und g die Schwerebeschleunigung[2][4].

Goryachew-Chaplygin-Kreisel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dmitri Nikanorowitsch Gorjatschew (Goryachev) fand 1900 eine spezielle Kreiselbewegung, die ebenfalls integrabel ist, und Tschaplygin (Chaplygin) konnte Goryachevs Lösung 1948 deutlich vereinfachen. Der Fall von Goryachew-Chaplygin ist eine Abwandlung des Kowalewskaja-Falles, der statt halb so großem dritten Trägheitsmoment ein ein viertel so großes fordert. In diesem Fall gibt es allerdings nur dann eine vierte Erhaltungsgröße, wenn der Drehimpuls Lz in Richtung der Schwerkraft anfänglich verschwindet. Da das Moment der Schwerkraft senkrecht zu ihrer Richtung wirkt, ist dann Lz = 0 eine Konstante der Bewegung. Ebenso bleiben die Gesamtenergie, der Betrag des Richtungsvektors der Schwerkraft und eine Chaplygin-Konstante G unverändert:

Darin sind A das Trägheitsmoment bezüglich zweier Hauptachsen, ¼A das dritte Hauptträgheitsmoment, c0 = m g x0, m die Masse, g die Schwerebeschleunigung und x0 der Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt in 1-Richtung[4].

Beispiel rotierendes Pendel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 3: Ein um die senkrechte z-Achse rotierendes Pendel

Mit einem rotierenden Pendel wird hier ein sphärisches Pendel gemeint, das um eine Achse, die durch seinen Aufhängepunkt geht, rotiert, siehe Abb. 3. Üblicherweise werden solche sphärische Pendel mit Punktmassen modelliert und mit dem Lagrange-Formalismus behandelt. Hier sollen statt dessen die Kreiselgleichungen angewendet werden.

Bei einem rotierenden Pendel muss die Winkelgeschwindigkeit einen kritischen Wert überschreiten, damit eine Gleichgewichtslage bei 0° < α < 90° ohne Winkelbeschleunigungen möglich ist. Um eine solche Gleichgewichtslage sind kleine harmonische Schwingungen möglich.

Das ergibt sich aus den Kreiselgleichungen wie folgt: Das rotierende Pendel besteht aus einer mit Masse m und vernachlässigbaren Trägheitsmomenten ausgestatteten Punktmasse, die in der Entfernung r vom Drehpunkt fest an einem starren Pendelarm mit ebenfalls vernachlässigbarer Masse befestigt ist und mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um die vertikale z-Achse kreist. Dabei kann sich der Winkel α zwischen Pendelarm und Lotlinie in z-Richtung ändern.

Die Richtung von der Punktmasse zum Aufhängepunkt ist die 1-Richtung und die 2-Richtung ist dazu senkrecht, radial nach außen orientiert. Die 3-Richtung ist die zur 12-Ebene senkrechte Umfangsrichtung. Im 123-System lautet der Trägheitstensor dann:

siehe Liste von Trägheitstensoren. Als Bezugspunkt wird der Aufhängepunkt des Pendels genommen. Der Ortsvektor der Punktmasse ist vom Aufhängepunkt aus gesehen und wegen der starren Verbindung zum Pendelarm ist . Die konstante vertikale z-Richtung lautet mit dem Sinus und Kosinus dann

Die Winkelgeschwindigkeit hat eine Komponente in z-Richtung und eine in Umfangsrichtung und mit ihr berechnen sich die Zeitableitungen

Weil die Winkelgeschwindigkeit ω konstant sein soll, dies jedoch im Allgemeinen nicht ist, ist der Drehimpuls hier im Allgemeinen nicht konstant. Mit diesen Zwischenergebnissen können die Kreiselwirkungen berechnet werden:

Die Gewichtskraft der Punktmasse ist das Produkt aus ihrer Masse und der Schwerebeschleunigung g und übt ein Moment

auf das Pendel aus. Die Zwangskraft, die für den gleichbleibenden Abstand der Punktmasse vom Lager sorgt, verursacht, weil sie in Richtung der Stabachse weist, kein Moment. Ein Moment in 1- und 2-Richtung muss Fliehkräfte aufnehmen und dafür sorgen, dass das Pendel eine gleichbleibende Winkelgeschwindigkeit ω in z-Richtung besitzt.

Die Kreiselgleichungen in 1- und 2-Richtung dienen nur der Bestimmung des Moments , das hier jedoch nicht interessiert. Um die 3-Richtung kann die Punktmasse frei drehen und die dritte Komponente der Kreiselgleichung liefert oder

Mit ω = 0 entsteht die Bewegungsgleichung für das mathematische Pendel[6].

Gleichgewichtslagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Gleichgewichtslagen ohne Winkelbeschleunigungen ergibt sich aus der letzten Gleichung m r² sin(α)=0 – dann ist die Punktmasse auf der Lotlinie – oder:

Die Winkelgeschwindigkeit ω muss dann wegen

einen kritischen Wert überschreiten, damit eine Gleichgewichtslage ohne Winkelbeschleunigungen mit positivem Winkel im Bereich 0° < α < 180° möglich ist. Wegen ist der Winkel bei Gleichgewichtslagen sogar auf den Bereich 0° ≤ α < 90° eingeschränkt.

Energiebetrachtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die dritte Kreiselgleichung kann nach Multiplikation mit einmal integriert werden:

Die Integrationskonstante E ist die Energie des Pendels im rotierenden System: Der erste Term auf der linken Seite ist die Rotationsenergie der Drehung um die 3-Achse, der zweite Term das Zentrifugalpotential der Drehung um die z-Achse und der letzte Term die potentielle Energie der Punktmasse[6].

Schwingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die dritte Kreiselgleichung kann um einen Punkt α0 linearisiert werden. Dazu wird α=α0+δ mit konstantem α0 und kleiner Abweichung δ angenommen. Dann ist sin(δ)≈δ, cos(δ)≈1 und mit den Additionstheoremen entwickelt sich:

Bei α0=180°, also am oberen Totpunkt, ist die unterstrichene Differenz negativ und eine Schwingung mithin nicht möglich. Deswegen ist der obere Totpunkt eine instabile Gleichgewichtslage.

Am unteren Totpunkt bei α0=0° gilt:

  • Wenn , dann ist der unterstrichene Term positiv und es können kleine Schwingungen stattfinden. Der untere Totpunkt ist in diesem Fall eine stabile Gleichgewichtslage.
  • Wenn , dann ist der unterstrichene Term negativ und der untere Totpunkt somit eine instabile Gleichgewichtslage. Hier findet eine Pitchfork-Bifurkation statt.[6]

Wenn α0 eine Gleichgewichtslage ist, dann entfällt die auslenkende Kraft auf der rechten Seite, und es ergibt sich aus den Doppelwinkelfunktionen die Schwingungsgleichung

Um eine Gleichgewichtslage ist eine (kleine) Schwingung immer möglich.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 149 – 158, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).
  2. a b Wilderich Tuschmann, Peter Hawig: Sofia Kowalewskaja. Ein Leben für Mathematik und Emanzipation. Birkhäuser Verlag, Basel 1993, ISBN 978-3-0348-5721-5, doi:10.1007/978-3-0348-5720-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 25. Mai 2017]).
  3. Peter H. Richter, Holger R. Dullin, Andreas Wittek: Kovalevskaya Top. Hrsg.: Institut für den wissenschaftlichen Film (IWF). 1997, ISSN 0073-8433, S. 10 (englisch, researchgate.net [abgerufen am 28. März 2018])., siehe auch Euler-Kreisel#Bezeichnungen.
  4. a b c A. V. Borisov, I. S. Mamaev: Euler-Poisson Equations and Integrable Cases. 2001, doi:10.1070/RD2001v006n03ABEH000176, arxiv:nlin/0502030 (englisch, Enthält Lösungen der Kreiselgleichungen, deren ausführliche Beschreibung und weiter führende Literaturangaben.).
  5. Joseph-Louis Lagrange: Mécanique Analytique. Tome Second. Corucier, Paris 1815, S. 265 f. (französisch, archive.org [abgerufen am 20. August 2017]). oder Joseph-Louis Lagrange: Analytische Mechanik. Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1797 (archive.org [abgerufen am 20. August 2017] Deutsche Übersetzung von Friedrich Murhard).
  6. a b c P. Eckelt: Theoretische Mechanik. (PDF) Institut für Theoretische Physik an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster, 2000, S. 11 bis 13, abgerufen am 16. Juli 2016 (deutsch, siehe auch die dort angegebenen Quellen).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage. Springer, New-York / Berlin / Heidelberg / London / Paris / Tokyo 1989, ISBN 3-540-96890-3.
  • K. Magnus: Kreisel. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-05198-8.
  • R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Auflage. Band 2. Springer, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1950, DNB 451641280 (archive.org – Schwung=Drehimpuls, Drehstoß=Drehmoment, Drehwucht=Rotationsenergie).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]