Eulersche Phi-Funktion

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Die ersten tausend Werte der Funktion

Die eulersche Phi-Funktion (andere Schreibweise: Eulersche φ-Funktion, auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion. Sie gibt für jede natürliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind:

Dabei bezeichnet den größten gemeinsamen Teiler von und Außerdem wird hier und im ganzen weiteren Artikel unter der Menge der natürlichen Zahlen die Menge der positiven ganzen Zahlen verstanden, sodass also stets gilt.

Die Phi-Funktion ist benannt nach Leonhard Euler.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Zahl 6 ist zu genau zwei der sechs Zahlen von 1 bis 6 teilerfremd (nämlich zu 1 und zu 5), also ist
  • Die Zahl 13 ist als Primzahl zu jeder der zwölf Zahlen von 1 bis 12 teilerfremd (aber natürlich nicht zu 13), also ist

Die ersten 99 Werte der Phi-Funktion lauten:

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Multiplikative Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Phi-Funktion ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, sodass für teilerfremde Zahlen und

gilt. Ein Beispiel dazu:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl die Anzahl der Einheiten im Restklassenring zu, also die Ordnung der primen Restklassengruppe.

Denn ist eine Einheit, also so gibt es ein mit was äquivalent zu also zur Existenz einer ganzen Zahl mit ist. Nach dem Lemma von Bézout ist dies äquivalent zur Teilerfremdheit von und

ist für stets eine gerade Zahl.

Ist die Anzahl der Elemente im Bild die nicht größer als sind, dann gilt

Das Bild der Phi-Funktion besitzt also die natürliche Dichte 0.

Erzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirichlet-erzeugende Funktion der Phi-Funktion hängt mit der riemannschen Zetafunktion zusammen:

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da eine Primzahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, ist sie zu den Zahlen 1 bis teilerfremd. Weil sie größer als 1 ist, ist sie außerdem nicht zu sich selbst teilerfremd. Es gilt daher

Potenz von Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Potenz mit einer Primzahl als Basis und einer natürlichen Zahl als Exponent hat nur den einen Primfaktor Daher hat nur mit Vielfachen von einen von 1 verschiedenen gemeinsamen Teiler. Im Bereich von 1 bis sind das die Zahlen

Das sind Zahlen, die nicht teilerfremd zu sind. Für die eulersche -Funktion gilt deshalb

Beispiel:

Allgemeine Berechnungsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Wert der eulerschen Phi-Funktion lässt sich für jede natürliche Zahl aus deren kanonischer Primfaktorzerlegung

berechnen:

,

wobei die Produkte über alle Primzahlen , die Teiler von sind, gebildet werden. Diese Formel folgt direkt aus der Multiplikativität der Phi-Funktion und der Formel für Primzahlpotenzen.

Beispiel:

oder

.

Abschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Abschätzung für das arithmetische Mittel von erhält man über die Formel

wobei ζ die riemannsche Zetafunktion und das Landau-Symbol ist.

Das heißt: Im Mittel ist

Fourier-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die eulersche Phifunktion ist die diskrete Fourier-Transformation des ggT, ausgewertet an der Stelle 1:[1]

Der Realteil davon ergibt die Gleichung

Weitere Beziehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für gilt:
  • Für alle natürlichen Zahlen gilt:[2]
Beispiel: Für ist die Menge der positiven Teiler von durch
gegeben. Addition der zugehörigen Gleichungen
ergibt:

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Anwendung findet die Phi-Funktion im Satz von Fermat-Euler:

Wenn zwei natürliche Zahlen a und m teilerfremd sind, ist m ein Teiler von

Etwas anders formuliert:

Ein Spezialfall (für Primzahlen p) dieses Satzes ist der kleine fermatsche Satz:

Der Satz von Fermat-Euler findet unter anderem Anwendung beim Erzeugen von Schlüsseln für das RSA-Verfahren in der Kryptographie.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Belege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wolfgang Schramm: The Fourier transform of functions of the greatest common divisor. In: University of West Georgia, Karls-Universität Prag (Hrsg.): Integers Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 8, 2008, S. A50. Abgerufen am 24. Oktober 2015.
  2. Buchmann: Einführung in die Kryptographie. Theorem 3.8.4.