Eulersche Reihentransformation

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Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus einer konvergenten Zahlenreihe eine andere Zahlenreihe mit identischer Reihensumme. Das einfache Verfahren wurde zuerst von Nicolas Fatio auf die Leibniz-Reihe angewandt und von Leonhard Euler auf beliebige Reihen verallgemeinert. In manchen Fällen konvergiert die transformierte Reihe schneller als die ursprüngliche Reihe. Dies ermöglicht eine bessere numerische Berechnung der ursprünglichen Reihe (Konvergenzbeschleunigung). In einigen Fällen eröffnet sich damit auch die Möglichkeit für eine Auswertung der Reihensumme mittels Mathematischer Konstanten. Im Fall der Divergenz der ursprünglichen Reihe kann eine Reihentransformation auch ein Limitierungsverfahren liefern, indem die transformierte Reihe gegen einen Wert konvergiert.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reihe und transformierte Reihe sind gegeben durch

Hierbei ist der Operator definiert durch . Im Fall einer alternierenden Reihe erzeugt Differenzen von Absolutbeträgen von Reihentermen. Die Terme von sind bis auf eine Zweierpotenz und Vorzeichen die Binomialtransformierten von .

Dass die Euler-Transformierte dieselbe Reihensumme ergibt, lässt sich mit Hilfe von

verifizieren (y=1).

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Idee der eulerschen Reihentransformation (Nikolaus Fatio) besteht darin, aus der ursprünglichen Reihe durch Zusammenfassung aufeinanderfolgender Reihenterme zunächst eine neue Reihe

zu generieren. Für eine alternierende Reihe mit streng monoton fallenden Absolutbeträgen ist ebenfalls alternierend. Die eulersche Reihentransformation ergibt sich dann durch wiederholte Anwendung des Verfahrens auf die jeweils im vorherigen Schritt erzeugte Reihe.

Leonhard Euler gelangt auf einem anderen Weg zu Ziel. Er definiert (sinngemäß) eine Funktion

setzt , entwickelt nach und setzt , d.h. .

Andere Reihentransformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Vergleich mit anderen Reihentransformationen ist möglich, wenn man die Partialsummen von durch die Partialsummen , von ausdrückt,

Der Binomialkoeffizient approximiert bei großem als Funktion von eine Gaußkurve mit Mittelwert und Standardabweichung . Die Partialsumme ist daher (asymptotisch) ein mit einer Gaußkurve gewichtetes Mittel von Partialsummen von .

Das Cesàro-Mittel einer Reihe ist dagegen das arithmetische Mittel der Partialsummen .

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits James Stirling hat 1730 in seinem Methodus differentialis Reihentransformationen an Beispielen angegeben.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Reihe
liefert die schneller konvergente Reihe
  • Die Eulersche Reihentransformation liefert jedoch nicht in allen Fällen eine schneller konvergente Reihe. Im Beispiel
ergibt sich die langsamer konvergente Reihe
  • Im Fall einer divergenten Reihe kann die Eulersche Reihentransformation ein Limitierungsverfahren darstellen. Im Beispiel
ergibt sich die konvergente Reihe
Man sagt dann, dass die Reihe E-limitierbar ist.
  • Eine weniger triviale Anwendung ist die in ganz konvergente Reihe für die dirichletsche η-Funktion.

Weitere Reihentransformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben der Eulerschen Reihentransformation gibt es:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]