Ext (Mathematik)

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Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten und aus sei die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

Auf wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen und sind äquivalent, wenn es einen Morphismus gibt, so dass das Diagramm

kommutiert. Dabei ist der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.[1][2]

Funktorialität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu und der Sequenz kann man den Push-out bilden:

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in .

Bildet man die Restklasse von auf die Restklasse von ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus .

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z: Zu und der Sequenz kann man folgenden Pull-back bilden:

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in .

Bildet man die Restklasse von auf die Restklasse von ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus .

Ext als Ableitung des Hom-Funktors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d.h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor und definiert

,

das heißt man bildet die -te Rechtsableitung von und wendet den so entstandenen Funktor auf an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei und

eine projektive Auflösung von mit einem Epimorphismus und einem Monomorphismus . Weiter sei der induzierte Homomorphismus

.

Dann ist

.

Die Elemente aus sind also gewisse Restklassen von Elementen aus .[3]

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von und auch vertauschen kann, man erhält

.

Zusammenhang zwischen Ext und Ext1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte und zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung .

Sei eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus definiert. Weiter sei eine kurze exakte Sequenz mit projektivem . Mittels der Projektivität von kann man ein kommutatives Diagramm

konstruieren. Dann ist ein Homomorphismus, dessen Restklasse nach obiger Darstellung von ein Element aus definiert.

Bildet man die Restklasse von in auf die Restklasse von in ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung , von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.[4]

Daher kann man mit identifizieren, das heißt kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des -Funktors definiert werden.

Lange exakte Sequenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

und ein weiteres Objekt (Modul) hat man eine exakte Sequenz

,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von auf ausdehnt, so hat man . Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

.

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

.

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.[5]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
  2. Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
  3. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13
  4. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5
  5. Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1