Extremalpunkt

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Ein Extremalpunkt einer konvexen Menge K eines reellen Vektorraums ist ein Punkt x aus K, der sich nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K darstellen lässt, also zwischen keinen zwei anderen Punkten aus K liegt. Das heißt, es gibt keine Punkte mit für ein .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Extremalpunkte (rot) einer konvexen Menge K (blau und rot) können nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K dargestellt werden
  1. Ein Dreieck ist eine konvexe Menge, die Extremalpunkte sind genau die Ecken des Dreiecks.
  2. Eine abgeschlossene Kugel im ist konvex, die Extremalpunkte sind genau die Randpunkte. Das gilt in allen Hilberträumen oder allgemeiner in allen strikt konvexen Räumen. Eine offene Kugel hat keine Extremalpunkte.
  3. Die positiven Funktionale mit Norm 1 einer kommutativen C*-Algebra bilden eine konvexe Menge. Die Extremalpunkte sind genau die multiplikativen Funktionale.
  4. Nach dem Satz von Birkhoff und von Neumann sind die Permutationsmatrizen genau die Extremalpunkte der doppelt-stochastischen Matrizen.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abschlusseigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ExtremalpunkteDoppelkegel.PNG

Die Menge der Extremalpunkte ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen. Ein dreidimensionales Beispiel erhält man durch das Zusammenfügen zweier schiefer Kegel zu einem Doppelkegel, so dass die Verbindungsstrecke zwischen den Spitzen und (siehe nebenstehende Skizze) auf den Mantelflächen verläuft und die gemeinsame Kreislinie in einem Punkt trifft. Die Menge der Extremalpunkte dieses Doppelkegels besteht aus den Kegelspitzen und und allen Punkten der Kreislinie ohne , denn dieser Punkt lässt sich ja aus und konvex kombinieren. liegt aber im Abschluss der Extremalpunktmenge.

ExtremalpunkteEinheitskugel.PNG

Im unendlichdimensionalen Fall kann die Menge der Extremalpunkte dicht liegen. Ein einfaches Beispiel ist die Einheitskugel in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum mit der schwachen Topologie (bezüglich dieser ist kompakt). Die Extremalpunktmenge ist die Menge aller Vektoren mit Länge 1. Um zu sehen, dass die Extremalpunktmenge dicht in liegt, sei ein Vektor mit und eine schwache Umgebung von . Dann gibt es Vektoren und ein mit . Da unendlichdimensional ist, gibt es einen zu den orthogonalen Vektor und dann ein , so dass der Vektor die Länge 1 hat und folglich ein Extremalpunkt ist. Da , folgt . Damit ist gezeigt, dass jede schwache Umgebung eines Vektors der Länge < 1 einen Extremalpunkt enthält. Daher fällt der Abschluss der Extremalpunktmenge mit zusammen.

Extremale Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition eines Extremalpunktes lässt sich auf natürliche Weise auf Mengen übertragen: Eine extremale Menge ist eine Teilmenge einer konvexen Menge mit der Eigenschaft, dass sich Punkte aus dieser Menge nur dann als Konvexkombination von Punkten aus der konvexen Menge darstellen lassen, wenn diese Punkte bereits in der Teilmenge selbst enthalten sind. Formal:

Sei ein Vektorraum, konvex und . Dann ist eine extremale Menge, falls gilt:

Typische Beispiele sind Seiten oder Kanten von Polyedern. Ein oft benutzter Satz ist, dass Extremalpunkte von extremalen Mengen bereits Extremalpunkte der umgebenden konvexen Menge sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]