Kepler-Gleichung

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zur Kepler-Gleichung auf elliptischer Keplerbahn
Punkte: Winkel:
Z: Periapsis E: Exzentrische Anomalie
P: Objekt T: Wahre Anomalie
C: Mittelpunkt M: Mittlere Anomalie
S: Brennpunkt
X: Hilfspunkt zum Objekt
Y: fiktiver Körper

Mit Hilfe der Kepler-Gleichung lassen sich im Kepler-Problem anfallende Aufgaben lösen. Insbesondere kann der momentane Winkelabstand (wahre Anomalie T ) eines Himmelsobjekts P von der Periapsis Z seiner Keplerbahn in Abhängigkeit von der Zeit t ermittelt werden.

Bei der häufigsten elliptischen Keplerbahn wird wie folgt vorgegangen:
Auf einem Umkreis zur Ellipse werden ein dem Himmelsobjekt entsprechender Punkt X mit sogenannter exzentrischer Anomalie E und ein fiktiver Punkt Y, der den Ablauf der gleichmäßig vergehenden Zeit t simuliert und die sogenannte mittlere Anomalie M hat, eingeführt, d.h. M \sim t. Die Anwendung des zweiten keplerschen Gesetzes führt zu einer Beziehung – der Kepler-Gleichung – zwischen diesen beiden Anomalien E und M, mit deren Hilfe schließlich die wahre Anomalie T als Funktion der mittleren Anomalie M beziehungsweise der Zeit t gefunden werden kann.

Herleitung der Keplergleichung[Bearbeiten]

Mittlere Anomalie[Bearbeiten]

Die gleichmäßig vergehende Zeit lässt sich an der Bewegung eines fiktiven Körpers auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit veranschaulichen. Hierfür wird ein Umkreis als Hilfskreis um die Kepler-Ellipse (Orbit), auf dem der fiktive Körper Y umläuft, gelegt. Y steht um Zeitpunkt t_0 ebenso wie das wahre Objekt in der Periapsis, und hat dieselbe Umlaufzeit.

Die momentane Lage des Punktes Y wird als Winkel (alle folgenden Winkel werden mit Bogenmaß dargestellt) im Hilfskreis-Mittelpunkt C im Bezug zur Periapsis Z angegeben und als mittlere Anomalie M bezeichnet:

(1)     M= 2 \pi \frac {t-t_0} {U} .

Dabei ist U die Bahnperiode, und {2 \pi} / U ist die konstante Winkelgeschwindigkeit. Im Zeitpunkt t0befindet sich das Himmelsobjekt in der Periapsis (Periapsiszeit), wobei es den geringsten Abstand zu seinem Schwerezentrum S hat.

zu Gleichung (2)

Das Kepler-Problem ist die rechnerische Anwendung des zweiten keplerschen Gesetzes, das heißt die Angabe der Position des Himmelskörpers P (wahre Anomalie) zu einem vorgegebenen Zeitpunkt (mittlere Anomalie). Die gemäß diesem Gesetz in gleich großen Zeitabschnitten gleich großen von der Verbindungslinie zwischen Bahnzentrum und Himmelskörper überstrichenen Flächen lassen sich bei elliptischer Geometrie leichter auf dem Umweg über den Umkreis rechnerisch behandeln. Zwischen Umkreis und Ellipse besteht eine Affinität, die Teilflächen der Ellipse proportionale Kreissektoren, die einfach zu berechnen sind, zuordnen.

Gemäß dem zweiten keplerschen Gesetz ist der Anteil der elliptischen Teilfläche an der Ellipse gleich groß wie der Kreissektor am Umkreis. Im gleichen Zeitabschnitt überstreicht der Fahrstrahl \overline{SP} des Körpers P im Verhältnis die gleich große Fläche wie der Fahrstrahl \overline {CY} des Punktes Y:

(2)     \frac{\operatorname{area}\,CYZ}{\operatorname{area}\,SPZ} = \frac{\pi a^2}{\pi a b} = \frac ab .

a ist die große Halbachse der Ellipse und der Radius des Umkreises, b ist die kleine Halbachse der Ellipse.  a/b ist Ausdruck der Affinität zwischen Umkreis und Ellipse. Letztere ist mit reziprokem Wert dieses Verhältnisses in jeder Parallele zur kleinen Halbachse der “gestauchte” Umkreis.

zu Gleichung (3)
zu Gleichung (4)

Exzentrische Anomalie[Bearbeiten]

Durch zur kleinen Halbachse parallele Projektion des Punktes P auf den Umkreis entsteht der Hilfspunkt X, dessen Winkel im Mittelpunkt C zur Periapsis Z von Kepler exzentrische Anomalie E genannt wurde. Die Affinität begründet folgenden Zusammenhang:

(3)     \operatorname{area}\,SXZ = \frac ab\operatorname{area}\,SPZ .

Nach Einsetzen von Gleichung (2) in Gleichung (3) folgt:

(4)     \operatorname{area}\,SXZ = \operatorname{area}\,CYZ .

Keplergleichung[Bearbeiten]

zu den Gleichungen (5) und (6)
zu Gleichung (7)

Mit Gleichung (4) ist die gesuchte Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie (Punkt X) und der mittleren Anomalie (Punkt Y) indirekt gefunden. Die direkte Beziehung entsteht durch folgende Schritte:

Wenn der Fahrstrahl \overline {CY} in einer Periode U den Winkel 2 \pi zurücklegt und die Fläche \pi a^2 überstreicht, so überstreicht er bis zum Zeitpunkt t den Winkel M und eine um den Faktor M / 2 \pi kleinere Fläche:

(5)     \displaystyle\operatorname{area}\,CYZ = \frac{a^2}{2} M .

Die analoge Betrachtung für den Fahrstrahl \overline {CX} über den Winkel E ergibt:

(6)     \displaystyle \operatorname{area}\,CXZ = \frac{a^2}{2} E .

Die Fläche CXZ besteht aus den Teilflächen CXS und SXZ:

(7)     \displaystyle\operatorname{area}\,CXZ=\operatorname{area}\,CXS + \operatorname{area}\,SXZ .

Die Teilfläche CXS ist ein geradlinig begrenztes Dreieck mit der Basis a \cdot e und der Höhe a \cdot \sin E :

(8)     \displaystyle \operatorname{area}\,CXS = \frac{a^2}{2} e \sin E .

e ist die numerischen Exzentrizität der Ellipse, die den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt im Verhältnis zur großen Halbachse a angibt.

Die Teilfläche SXZ ist nach Gleichung (4) gleich groß wie die Fläche CYZ, deren Wert in Gleichung (5) angegeben ist.

Durch Einsetzen der Gleichungen (6), (8) und (5) wird aus Gleichung (7):

(9)     \displaystyle\frac{a^2}2E=\frac{a^2}{2} e \sin E+\frac{a^2}2M

Daraus ergibt sich schließlich die Kepler-Gleichung:

E - e \cdot \sin E = M

Lösung der Kepler-Gleichung[Bearbeiten]

Die Kepler-Gleichung ist nicht in geschlossener Form nach der exzentrischen Anomalie E(t) auflösbar. Beispiele dafür, E(t) mit ihr aus der mittleren Anomalie M(t) zu ermitteln sind:

1. Die Größe E(t) kann als Nullstelle der Funktion der Keplergleichung betrachtet werden:

f(E) = E - e \cdot \sin E - 2 \pi \frac {t-t_0} {U}
Die Nullstelle kann etwa mit dem Newton-Verfahren numerisch berechnet werden.

2. Ein stabileres, aber langsamer konvergierendes Verfahren beruht auf dem banachschen Fixpunktsatz:

E_n = M + e \cdot \sin E_{n-1}; ~ E_0 = M [1]

3. Für kleine Exzentrizität e kann E auch folgendermaßen approximiert werden:

E = M + e \cdot \sin M + \frac{1}{2} e^2  \cdot \sin 2M [2]
Der Fehler ist hierbei von der Größenordnung \mathcal{O}(e^3). Bei der Erde und ihrer Exzentrizität e = 0{,}0167 liegt der Fehler für begrenzte Zeiträume also hinter der 5. Kommastelle.

Lösung einiger Aufgaben im Kepler-Problem[Bearbeiten]

Wahre Anomalie[Bearbeiten]

Für einen Himmelskörper auf einer Keplerbahn ist für den Zeitpunkt t beziehungsweise für die zugehörige mittleren Anomalie M(t) der Ort beziehungsweise die wahre Anomalie T(t) anzugeben. Mit Hilfe der Kepler-Gleichung wird zuerst die exzentrischen Anomalie E(t) ermittelt (siehe oben). Aus letzterer folgt die wahre Anomalie T(t) nach einer der folgenden Beziehungen:

\tan \frac{T}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan \frac{E}{2}  [3]

oder

\cos T = \frac {a \cos E - ae} {a - ae \,\cos E}     bzw.    \displaystyle \cos T = \frac { \cos E - e} {1 - e \cos E}.

Hier ist ae die lineare Exzentrizität der Bahnellipse. Zum Auflösen nach T ist jeweils eine Fallunterscheidung zwischen 0 \le E \le \pi und \pi \le E \le 2\pi nötig.

Bemerkungen
  • Der Nenner der zweiten Formel gibt gerade den Abstand r des Himmelsobjekts zum Brennpunkt s an:
r = a - ae \, \cos E.
  • Die Formeln können leicht nach \tan \tfrac{E}{2} oder \cos E umgeformt werden und es ergibt sich:
\tan \frac{E}{2} = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \cdot \tan \frac{T}{2}

und

\cos E = \frac {a \cos T + ae} {a + ae \cos T}     also    \displaystyle \cos E = \frac { \cos T + e}{1 + e \cos T}. [4]

Zwischen der wahren Anomalie T, der exzentrischen Anomalie E und der mittleren Anomalie M bestehen noch zahlreiche weitere Zusammenhänge[5], die in der langen Geschichte der Himmelsmechanik entwickelt wurden. Insbesondere lässt sich die wahre Anomalie – ohne Umweg über die Keplergleichung – direkt aus einer speziellen Differenzialgleichung in M errechnen[6], was für numerische Näherungsverfahren von Interesse ist.

Bahnradius[Bearbeiten]

Hauptartikel: Keplerbahn

Mit der wahren Anomalie wird die Richtung eines Himmelskörpers auf seiner Keplerbahn für eine Zeit t angegeben. Die zugehörende Entfernung – der Bahnradius – ist wie folgt berechenbar:

r = r(T(t)) = r(t) = a \cdot \frac{(1-e^2)}{1+e \cdot \cos T}
r: Entfernung (Bahnradius)
a: große Halbachse der Ellipse
e: numerische Exzentrizität
T: wahre Anomalie

Bahngeschwindigkeit[Bearbeiten]

Die zeitliche Änderung der wahren Anomalie entspricht der Winkelgeschwindigkeit \omega in Bezug auf das Gravizentrum. Die Normalkomponente der Geschwindigkeit folgt also direkt aus

v_\perp = \dot T \cdot r

Die Radialgeschwindigkeit ist die Änderung des Bahnradius mit der Zeit:

v_r = \dot r

Die Bahngeschwindigkeit oder Orbitalgeschwindigkeit folgt dann zu v^2= v_\perp^2 + v_r^2

v = v(T(t), r(t)) = v(t) = \sqrt{ (\dot T \cdot r)^2 + \dot r^2}
v: Bahngeschwindigkeit
T: wahre Anomalie
r: Bahnradius

Einfacher lässt sich die Bahngeschwindigkeit über den Hodograph \vec {\dot r} aus dem Flächensatz ableiten

v^2 = \frac {C^2}{p} \left( \frac {2}{r} - \frac {1}{a} \right) [7]
C: Bahndrehimpuls als zentrale Kenngröße der Bewegung
C = v_\mathrm{max}\cdot r_\mathrm{min} = v_\mathrm{min}\cdot r_{max}
p: Halbparameter als kennzeichnendes Bahnelement
p = 2 \cdot \frac{r_\mathrm{min}\cdot r_\mathrm{max}}{r_\mathrm{min} + r_\mathrm{max}} = \frac{b^2}{a}
a: große Halbachse
b: kleine Halbachse
C²/p = G·M mit Gravitationskonstante G und Masse des Zentralkörpers M

Daraus folgen die Minimal- und Maximalgeschwindigkeit im Apozentrum und Perizentrum einer Ellipsenbahn

v_\mathrm{max}^2 = \frac {C^2}{p\cdot a}\cdot\frac{1 + e}{1 - e} \qquad v_\mathrm{min}^2 = \frac{C^2}{p\cdot a} \cdot\frac{1 - e}{1 + e} [7]
e: numerische Exzentrizität

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. §II.6.67 Numerische Verfahren. Guthmann, S. 128f
  2. §II.6.66 Reihenentwicklung der exzentrischen Anomalie. Guthmann, S. 125ff
  3. Siegfried Wetzel: Die Zeitgleichung für Nicht-Astronomen, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Mitteilungen Nr. 111, Herbst 2007, Anhang 3
  4. R. Strebel: Die Keplersche Gleichung, Oktober 2001, Kap. 1.3 und 5.1.
  5. Aufgaben zu §II.5. Guthmann, S. 122f
  6. 10. Aufgabe zu §II.5. Guthmann, S. 123
  7. a b §II.5.58 Der Hodograph. Guthmann, S. 114f