Fahne (Mathematik)

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Darstellung einer Vektorraumfolge in Form einer Fahne

Als Fahne wird in der linearen Algebra eine Folge von Vektorräumen aufsteigender Dimension mit einer echten Teilmengenbeziehung bezeichnet. Der Name stammt daher, dass die ersten drei Vektorräume – Punkt, Gerade, Ebene – wie eine gewöhnliche Fahne angeordnet werden können.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Fahne in einem (meist endlichdimensionalen) Vektorraum über einem Körper ist eine endliche Folge von Untervektorräumen von mit und , so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

Ist oder äquivalent dazu für , so spricht man von einer vollständigen Fahne. Manche Autoren beschäftigen sich nur mit vollständigen Fahnen und sprechen dann von Fahnen schlechthin.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Basis von , so ist durch

eine vollständige Fahne definiert. Das Datum der Fahne ist jedoch schwächer, verschiedene Basen können dieselbe Fahne erzeugen.

Typ von Fahnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei Fahnen, die aus derselben Anzahl von Unterräumen bestehen und für die

für

gilt, so sagt man, dass und denselben Typ haben. Die Typen von Fahnen sind durch die Partitionen der Zahl bestimmt. Zwei Fahnen vom selben Typ gehen stets durch einen Automorphismus von auseinander hervor.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Endomorphismus von , und gilt

für alle

so heißt die Fahne unter invariant oder stabil. Ist die Fahne vollständig, so impliziert die Existenz einer invarianten Fahne, dass es eine Basis von gibt, bezüglich der durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird (Trigonalisierung). Für allgemeinere Fahnen ergibt sich eine Blockdreiecksform, die durch den Typ der Fahne bestimmt ist.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge aller Automorphismen von , die eine gegebene Fahne stabilisieren, bildet eine parabolische Untergruppe von .
  • Die Menge aller Fahnen eines Typs wird als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet. Da transitiv auf der Menge aller Fahnen eines Typs operiert, lassen sich Fahnenmannigfaltigkeiten als homogene Räume von darstellen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]