Fahrphysik (Fahrrad)

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Das Fahren auf einem Fahrrad ist ein dynamischer Vorgang mit dem Ergebnis, dass ein einspuriges Fahrrad mit seinem auf ihm sitzenden Fahrer nicht umfällt.

Bedingungen dafür sind:[1][2][3]

Das Fahrrad im labilen Gleichgewicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Fahrrad berührt den Boden an zwei Stellen – den Auflageflächen der Reifen. Eine auch nur geringe Neigung der senkrecht zur Fahrbahn stehenden Rahmenebene führt beim stehenden Fahrrad zum Umkippen. Sobald der Schwerpunkt nicht mehr über der die Auflageflächen umfassenden und verbindenden Unterstützungsfläche liegt, kippt das Rad um.

Durch extremes Einschlagen des Lenkers lässt sich die Unterstützungsfläche für den Schwerpunkt vergrößern. Nur geübte Menschen können auf einem stehenden Fahrrad für längere Zeit einen Sturz vermeiden. Da diese Probleme beim Geradeausfahren nicht bestehen, muss die Fahrdynamik dafür ausschlaggebend sein.

Das Gleichgewicht während der Fahrt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einem Umkippen in eine Richtung während der Fahrt wird dadurch entgegengewirkt, dass der Lenker in die gleiche Richtung ausschlägt, eine kurze Kurve einleitet und das Fahrrad nun durch die Zentrifugalkraft zur anderen Seite aufgerichtet wird. Dabei lässt sich ein Überkippen kaum vermeiden, der Lenker muss wiederum in die andere Richtung gelenkt werden und so weiter.

Eine Geradeausfahrt kommt daher einem kaum merkbaren Pendeln um die Gleichgewichtslage zwischen Kippen und Wiederaufrichten gleich. Bei langsamer Fahrt äußert sich das Pendeln durch starke, abwechselnde Lenkausschläge.

Freihändig Fahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei freihändigem Fahren bewirkt man durch das seitliche Neigen des Körpers eine Lenkbewegung. Je mehr man das Fahrrad neigt, desto mehr Lenkeinschlag wird entstehen, in einem gewissen Rahmen. Freihändiges Fahren ist bei langsamer Fahrt nahezu unmöglich. Erst der weiter unten beschriebene Nachlauf und die Kreiselkräfte ermöglichen dies, indem sie bei einer Radneigung einen kontrollierbaren Lenkeinschlag auslösen und so das Rad wieder in die gerade Fahrlinie zurückbringen, beziehungsweise eine stabile Kurvenfahrt ermöglichen. Kleinere, aber abrupte Höhenunterschiede (Schlaglöcher, Hügelchen bis 1 m Durchmesser) sind allerdings fatal beim freihändigen Fahren und führen in der Regel zum Umfallen des Fahrrads. Ist das Rad nämlich nicht seitlich geneigt, aber die Straße, so wird beim freihändigen Fahren ebenfalls eine Kurve eingeleitet.

Felix Klein und Arnold Sommerfeld stellten 1897 fest, dass sich zwischen 16 und 20 km/h ein stabiler Bereich zum Freihändigfahren befindet. Unterhalb davon reicht der Lenkausschlag, den die Kreiselwirkung verursacht, nicht aus. Fährt man sehr viel schneller, werden keine Kreiselwirkungen mehr spürbar. Die Hinterradspur nähert sich so schnell der Vorderradspur an, dass sich beide zusammen wie ein starres System verhalten. Das Fahrgefühl gleicht dem Fahren in einer schmalen Schiene; das Lenken und damit das Aufrechtbleiben ist erschwert.

Der sich selbst einstellende Lenkeinschlag unterstützt auch das nicht-freihändige Fahren. Im Fall eines Schlaglochs oder einer seitlich schrägen Straße ist er nicht erwünscht. Der Lenker muss dann stärker festgehalten werden.

Wichtige Gründe für die Drehung der Lenkung in die Kipprichtung sind wie gesagt der Nachlauf (die Fahrradgeometrie) und die Präzession (die Kreiselkraft).

Nachlauf[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kipplenkung durch Nachlauf: Der Fahrbahn-Berührungs­punkt O liegt jetzt auf einer Linie mit X und dem Hinterrad und hat damit die Lenkung gedreht
Kipplenkung durch Nachlauf: O, der Punkt an dem das Rad die Fahrbahn berührt, tendiert dazu, sich hinter X, der Lenkachse auszurichten

Die Stelle, an der das Rad den Boden berührt, ist beim Geradeausfahren in der Reifenmitte. Neigt sich das Fahrrad nach rechts, ist sie rechts von der Mitte, der Reifen hat ja eine Dicke. Die Stelle tendiert aber dazu, sich wie bei einem Einkaufswagenrad hinter die Lenkdrehachse zu bewegen, genauer hinter den Durchstoßpunkt der Lenkungsdrehachse durch die Fahrbahnfläche. Da die bodenberührende Stelle aber nicht in der Reifenmitte ist, richtet sie das Rad und mit ihm die ganze Lenkung nicht gerade aus, sondern eben schief. Die Lenkung lenkt nach rechts.

Kürzere Nachläufe bewirken dabei bessere Kurveneigenschaften und schlechtere Geradeauslaufeigenschaften, bei größeren Nachläufen ist es umgekehrt, siehe Abschnitt Konstruktionsmerkmale eines Fahrrads, die das Fahren beeinflussen weiter unten.

Kreiseleffekte – Stabilisation durch Präzession[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Vorderrad stellt einen symmetrischen, nutationsfreien Kreisel dar; die Drehimpuls-, Rotations- und Figurenachsen sind identisch. Beim Versuch, auf einem Drehsessel ein solches sich drehendes Vorderrad um die Horizontale zu kippen, stellt man fest, dass sich der Sessel zu drehen anfängt. Um den Effekt allgemein zu formulieren, wird zuerst angenommen, ein solcher Kreisel dreht sich um die Rotationsachse, die z. B. x heißen soll. Er bleibt fortan in Bewegung. Wird er dann im weiteren um eine Senkrechte y etwas gedreht, ohne sonstige Beeinflussung, dreht er sich auch etwas um die z-Achse. Der Effekt heißt Präzession (s. a. Gyroskopischer Effekt bei Zweirädern).

Kippen des Fahrrads bewirkt eine Lenkerdrehung
Lenken des Fahrrads bewirkt eine Kippbewegung

Das Modell kann auf 2 Arten auf das Vorderrad angewendet werden.

  • Angenommen die y-Achse sei die rote Längsachse und die z-Achse die im Bild blaue Vertikalachse. Kippt nun das Rad etwas um die rote Achse, dreht sich das Rad etwas um die blaue Achse. Ein Kippen des Vorderrads und damit des ganzen Fahrrads verursache eine Lenkung, der Lenker dreht sich in die Richtung der Neigung.[4]
  • Wird andererseits angenommen, die y-Achse des Kreisels stimmt mit der blauen Achse des Vorderrads überein und die z-Achse mit der roten, ergibt sich der zweite Zusammenhang. Dreht man mit dem Lenker das rotierende Vorderrad um die blaue Achse, kippt es um die rote Achse. Lenken verursacht das Kippen des Fahrrads in die entgegengesetzte Richtung.

Das Hinterrad präzediert nicht, trägt aber zur Kreiselwirkung bei, indem seine Neigung auf das Vorderrad übertragen wird, was zu einer Verstärkung der Kreiselwirkung führt und das Rad insgesamt stabilisiert.

Chaotisches Endverhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Sicht der Kreiseltheorie lässt sich vereinfacht dazu sagen, dass das System niemals durch den idealen Fall eines symmetrischen Kreisels (von den drei extremalen Trägheitsmomenten sind zwei gleich), sondern durch einen realistischen Trägheitstensor mit drei verschiedenen Hauptträgheitsmomenten beschrieben wird.[5] Von Bewegungen um das „mittlere Trägheitsmoment“ ausgehend entwickeln sich Störungen bei Nicht-Eingreifen des Fahrers nach einer Zeit, die von den drei Hauptträgheitsmomenten und von der „Störung“ abhängt, zu einer unkontrollierbaren Taumelbewegung.

Kurvenfahrt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einleitendes Gegenlenken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Kurve wird nicht direkt durch ein Drehen des Lenkers in die gewünschte Richtung eingeleitet. Radspuren auf Sand oder Schnee zeigen, dass zunächst eine leichte Lenkbewegung in die entgegengesetzte Richtung erfolgt. Schlüge man für eine Linkskurve einfach nach links ein, dann bewegte sich die Auflagefläche des Reifens nach links unter dem Schwerpunkt weg. Dies bewirkt eine Schräglage nach rechts, die im Folgenden durch die Schwerkraft noch verstärkt wird. Um eine Linkskurve zu fahren, ist aber grundsätzlich eine Neigung nach links notwendig, damit das Rad nicht nach außen kippt.

Zur Einleitung einer Rechtskurve muss es aus dem senkrechten Gleichgewicht in eine Schräglage nach rechts gebracht werden. Dies geschieht durch eine kurze Lenkbewegung nach links. Anschließend wird die Schräglage durch Lenkung nach rechts stabilisiert. Damit wird ein neues Gleichgewicht erreicht, in dem das Kippmoment durch die Zentrifugalkraft ausgeglichen wird.

Bestimmung des Neigungswinkels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Kurve kann als Teil einer Kreisbahn betrachtet werden. Legt sich der Fahrer in die Kurve, ist der Neigungswinkel, bei dem er nicht stürzt, abhängig von Fahrgeschwindigkeit und Kurvenradius. Je schneller die Fahrt und je enger die Kurve, desto größer muss der einzunehmende Neigungswinkel sein. Dieser ist eindeutig bestimmbar: Die Verbindungslinie zwischen Schwerpunkt und Unterstützungsfläche muss nämlich in Richtung der Resultierenden von Fliehkraft und Anziehungskraft verlaufen. Für den Neigungswinkel zwischen der Resultierenden und der Senkrechten gilt daher:

Dabei ist die Geschwindigkeit, der Kurvenradius und die Schwerebeschleunigung.

Für einen ruhenden Beobachter wirkt auf das Fahrrad eine zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft, die durch die Haftreibung der Laufräder aufgebracht wird. Der Haftreibungskoeffizient bestimmt nun den maximalen Neigungswinkel, dessen Überschreitung zum Wegrutschen des Vorderrades und zum Sturz führt. Vor engen Kurven und auf schmierigen, schotterigen oder glatten Bodenbelägen ist also ein Abbremsen notwendig, weil die Reibung sonst nicht ausreicht, die erforderliche Zentripetalkraft aufzubringen.

Fahrereinfluss bei Kurvenfahrten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dem Fahrer ist beim Kurvenfahren die Feinabstimmung überlassen, ohne die eine kontrollierte Fahrt nicht möglich wäre. Beim sportlichen Radfahren (Radrennsport) sind zum erfolgreichen Durchfahren von Kurven weitere Techniken unerlässlich. Beispielsweise muss der Fahrer eine Körperspannung aufbauen, was durch Durchdrücken des fast gestreckten kurvenäußeren Beines (Pedale im tiefsten Punkt) bewirkt wird. Im Mountainbikesport hingegen, wo es eher um schnelle Verlagerung des Körperschwerpunktes aufgrund der Bodenbeschaffenheiten geht, hat sich eine Waagrechtstellung der Pedale als eher zweckmäßig erwiesen.

Überhöhung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kurvenradius kann erheblich verkleinert werden, wenn die Fahrbahn nicht eben, sondern in Richtung Kurvenmittelpunkt nach unten geneigt ist (Überhöhung). Diese Hilfe machen sich sowohl Cyclo-Cross-Fahrer und Mountainbiker als auch Bahnradfahrer zunutze:

  • Im Cyclocross- und Mountainbike-Sport nutzt man z. B. ausgefurchte Kurven, die hierdurch eine Überhöhung aufweisen, um Kurven schneller zu durchfahren.
  • Im Bahnradsport weisen die Radrennbahnen grundsätzlich in den Kurven Überhöhungen zwischen 30 Grad (lange Freiluft-Zementbahnen mit größerer Haftreibung) und gewöhnlich 45 Grad Überhöhungswinkel auf (in Ausnahmefällen sogar darüber: die nicht mehr existierenden Bahnen in Münster und Frankfurt am Main hatten Überhöhungen von über 55 Grad).

Ausweichmanöver[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Kurven, die im Zuge von kurzen Ausweichmanövern gefahren werden, ist die Technik des Gegenlenkens, um das Kippen einzuleiten, nicht notwendig, wenn der Fahrer anschließend die Fahrt auf der ursprünglichen Fahrlinie fortsetzen möchte. Statt der beschriebenen Technik lenkt der Fahrer das Fahrrad an dem Hindernis vorbei, während sein Körperschwerpunkt sich fast geradeaus weiterbewegt. Demzufolge ist diese Technik auch nur zum Ausweichen vor bodennahen Hindernissen, Schlaglöchern usw. geeignet. Wird sie in der falschen Situation angewandt, führt sie zu schweren Stürzen. Die Entscheidung über die Technik trifft der Fahrer nicht bewusst, sondern in Zehntelsekundenschnelle intuitiv.

Konstruktionsmerkmale eines Fahrrads, die das Fahren beeinflussen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fahrrad: Positiver Nachlauf, Radstand

Nachlauf[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Nachlauf wird der Abstand zwischen dem Vorderradaufstandspunkt und dem Punkt, in dem die gedachte Verlängerung der Lenkachse den Boden trifft, dem so genannten Spurpunkt, bezeichnet. Geometrisch festgelegt wird der Nachlauf durch Laufradradius, Steuerkopfwinkel (zwischen Lenkachse und Boden) und der Gabelbiegung (senkrechter Abstand von Nabe zur Lenkachse). Der Name rührt daher, dass das Rad bei Lenkbewegungen dem Spurpunkt „hinterherläuft“. Ist der Nachlauf positiv, so befindet sich der Spurpunkt wie in der Abbildung dargestellt in Fahrtrichtung vor dem Aufsetzpunkt. Die Größe des Nachlaufs liegt meist zwischen fünf und siebeneinhalb Zentimeter.

Positiver Nachlauf beim Einkaufswagen.

Der Nachlauf ist wohl die wichtigste bauliche Unterstützung im Bemühen gegen das Umfallen während des Geradeausfahrens. Er wirkt auf folgende Arten:

  1. Droht ein Sturz, bewirkt die bei Radneigung in der Vorderachse angreifende Schwerkraft des Vorderrades einen Lenkereinschlag in Richtung der Neigung. Wie oben beschrieben greift nun die Fliehkraft ein und richtet das Rad auf. Dieser Effekt ist gut sichtbar, hält man den Sattel fest und neigt das Rad. Prompt dreht sich das Vorderrad.
  2. Die Richtkraft versucht das Rad in Radflucht auszurichten. Anschaulich ist dieser Effekt bei Teewagen oder Einkaufswagen, deren Radachsen nicht unterhalb der Lenkachsen liegen, sodass ein Kräftepaar auftritt. Lagerkraft und Rollwiderstand (Reibung) lassen das Rad auf der Stelle verharren. Bewegt sich z. B. der Einkaufswagen, rotieren die Räder zunächst auf der Stelle. Erst wenn ein positiver Nachlauf erreicht ist, folgt das Rad der Bewegung hinterher. Ohne den Nachlauf wäre diese Richtkraft nicht vorhanden.

Der Nachlauf ergibt sich aus dem Lenkwinkel und der Gabelvorbiegung; wie er sich aufs Fahrverhalten auswirkt, ist immer von diesen zwei Faktoren abhängig. Ein Nachlauf von 60 mm ergibt sich etwa bei einem Lenkwinkel von 74° und einer Gabelvorbiegung von 40 mm, ebenso jedoch bei 71° Lenkwinkel und 63 mm Vorbiegung. Beim ersten Beispiel (Kriteriumsrennrad) ergibt sich ein agiles Lenkverhalten, beim zweiten (Tourenrad) ist die Lenkung richtungsstabiler, allerdings auch empfindlicher beim Einspuren in Längsrillen.

Dass ein Fahren mit einem negativen Nachlauf nur schwer möglich ist, zeigt das Experiment des Chemikers David E. H. Jones. Er versuchte im Jahr 1970 ein Fahrrad zu konstruieren, das unfahrbar ist. Die meisten entwickelten Radtypen waren jedoch mehr oder weniger trotzdem nutzbar. Erst ein Rad mit negativem Nachlauf war „sehr knifflig“ zu steuern und besaß vernachlässigbare Selbststabilisierung.[6]

Radstand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Radstand und Schwerpunktsweg

Ein Fahrrad mit zwei Laufrädern berührt den Boden in zwei Punkten. Der Abstand dieser Punkte heißt Radstand. In einer Kurve neigt sich das Rad in Kurvenrichtung, der Schwerpunkt wandert dabei in dieselbe Richtung. Je größer der Radstand, desto größer ist der Weg des Schwerpunkts bei der Gewichtsverlagerung und damit die Zeit, um die für eine Kurvenfahrt nötige Neigung zu erreichen. Das etwas träge Verhalten von Rädern mit langem Radstand, etwa Tandems, lässt sich hierdurch erklären.

Ein Fahrrad mit weit auseinanderstehenden Laufrädern ist weniger wendig, bleibt aber der Richtung treu. Mit nahe beieinanderstehenden Laufrädern reagiert es schneller auf Lenkbewegungen, dabei stellt sich aber ein eher nervöser Geradeauslauf ein. Seine Wendigkeit wird beim Rennrad genutzt.

Vor allem nicht betont sportlich konstruierte Fahrräder haben einen Radstand von deutlich über einen Meter, ein Tandem gar zwei. In Wettbewerben verwendete Rennräder weisen i. d. R. einen Radstand von 97 bis 100 Zentimeter auf.

Um den Radstand zu messen, misst man den Abstand der Radmittelpunkte (Nabenachsenmittelpunkt) bei geradeaus ausgerichtetem Lenker, die den gleichen Abstandhaben wie die Kontaktpunkte am Boden, sofern Vorder- und Hinterrad den gleichen Radius besitzen.

Laufradgröße und -gewicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Je größer im Durchmesser und schwerer die Räder sind, desto größer sind die Kreiselmomente. Bei einem normalen Gebrauchsrad (Laufraddurchmesser 60 cm, Masse 1 kg) sind die Kreiselwirkungen etwa fünfmal so groß wie bei einem Kinderrad (30 cm; 0,4 kg). Korrekterweise hängt das Kreiselmoment natürlich nicht von der Masse des Laufrades, sondern von der Verteilung der Masse im Laufrad (Trägheitsmoment bzgl. der Achse) ab; beispielsweise hat ein Laufrad mit einer „schweren“ Felge ein größeres Kreiselmoment als ein gleich schweres Laufrad mit einer „leichten“ Felge mit einer „schweren“ Nabenschaltung. Konstruiert werden Fahrräder aber eher unter dem Gesichtspunkt des Energiesparens und daher so leicht wie möglich.

Abrollfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Geradeausfahrt entspricht die Form der Abrollfläche der Reifen einem Zylindermantel, bei einer Radneigung einem Kegel. Ein gerollter Kegel kreist um sein spitzes Ende. So ist ein Steuern durch Schräglage möglich, der Effekt ist jedoch gering. Bedeutend ist er, wenn freihändig mit „eingeschlagenem“ oder klemmend schwergängigem Steuerlager gefahren wird. Bei genügender Geschwindigkeit kann mit Hüftknick auf seitlich nicht geneigter Fahrbahn knapp ausreichend gelenkt und damit geradeaus balanciert werden.

Vorderradabsenkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einen sehr geringen Einfluss haben der Vorbau und Lenkkopf. In Geradeausstellung hat er die höchste Lage und damit größte potentielle Energie. Der Zustand niedrigster Energie wird angestrebt, daher werden Lenkeinschläge durch die Vorderradabsenkung verstärkt. Bei einem Lenkwinkel von 8° beträgt diese nur 0,15 Millimeter.

Sitzposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verlagert der Fahrer sein Gewicht auf das Hinterrad, sind geringere Lenkkräfte nötig. Dies führt allerdings zu Übersteuern und flatterigem Fahrverhalten aufgrund zu weiter oder zu schneller Richtungskorrekturen. Beugt man sich vor und belastet das Vorderrad, sind größere Lenkkräfte nötig. Man untersteuert und erreicht ein schwankendes Fahrverhalten wegen zu später und geringer Korrekturen.

Als Erfahrungswert gilt, dass ein ausgewogenes Fahrverhalten gewährleistet ist, wenn 55 bis 60 % des Gesamtgewichts von Fahrrad und Fahrer auf dem Hinterrad lasten.

Rahmengröße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die optimale Rahmengröße ist ebenfalls entscheidend für das Fahrverhalten. Für jeden Fahrradtyp gibt es hierzu eigene Richtlinien, für die die eigene Schrittlänge zu beachten ist. Zu empfehlen ist bei sportlicher Fahrweise die Wahl eines kleineren, bei tourenorientierter Fahrweise die Wahl eines größeren Rahmens.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • J. Ilundáin-Agurruza u. a. (Hrsg.): Die Philosophie des Radfahrens. Mairisch Verlag, Hamburg 2013, ISBN 978-3-938539-26-2.
  • Michael Klonovsky: Radfahren. dtv-Verlag, 2006, ISBN 3-423-34289-7.
  • Michael Gressmann: Fahrradphysik und Biomechanik. Moby Dick Verlag, Kiel 2002, ISBN 3-89595-023-8.
  • Frank Bollerey: Das Problem des Gleichgewichts beim Fahrradfahren aus physikalischer Sicht. Diplomarbeit. Universität Kassel, 1999.
  • Hans Joachim Schlichting: Zur Gleichgewichtsproblematik beim Fahrradfahren. In: technic-didact. 9/4, 1984, S. 257. (Download 57 kB pdf)
  • Roger Erb: Zum Problem der Stabilität beim Fahrradfahren. In: MNU. 5/54, 2001, S. 279–284. (online)
  • Felix Klein, Arnold Sommerfeld: Über die Theorie des Kreisels. Nachdruck der Erstauflage von 1897, 1898, 1903, 1910. Johnson Repr. u. a., New York u. a. 1965, ISBN 0-384-29720-X.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Rad fahren – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Fahrradfahren – Sammlung von Bildern
 Wikibooks: Fahrrad fahren lernen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Für die Balancesteuerung reichte eine einzige Zeile Code. auf: heise.de, 2. November 2012.
  2. Neues Freihand-Fahrrad: Die Masse macht's. In: Spiegel online. 15. April 2011.
  3. J. D. G. Kooijman, A. L. Schwab, J. P. Meijaard, J. M. Papadopoulos, A. Ruina: A Bicycle Can Be Self-Stable Without Gyroscopic or Caster Effects. In: Science. Band 332, Nr. 6027, 2011, S. 339–342, doi:10.1126/science.1201959.
  4. Die Federung, Fahrwerk und Federung („Warum kippen wir mit einem einspurigen Fahrzeug eigentlich nicht einfach um?“), oelsumpfonline.de, 2004.
  5. Siehe alle Darstellungen der Theoretischen Mechanik, insbesondere die von Landau-Lifschitz
  6. David E. H. Jones: The Stability of the Bicycle. In: Physics Today. 23 (April 1970) S. 34–40. ( PDF (Memento des Originals vom 30. Oktober 2008 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/ist-socrates.berkeley.edu, 9 MB, englisch).