Faktorgruppe

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Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe G unter Zuhilfenahme eines Normalteilers N \trianglelefteq G gebildet wird. Sie wird mit G/N bezeichnet.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Elemente von G/N sind die Nebenklassen bezüglich N, also

G/N := \{ gN : g \in G \}.

Die innere Verknüpfung \circ\colon G/N \times G/N \rightarrow G/N wird definiert als

(gN) \circ (hN) := (gh)N.

Man kann mit Hilfe der Normalteilereigenschaft von N zeigen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist und dass (G/N, \circ) eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt Faktorgruppe von G nach N. Das neutrale Element von G/N ist N und das zu gN inverse Element ist durch g^{-1}N gegeben.

Das Produkt (gN) \circ (hN) = (gh)N stimmt mit dem Komplexprodukt (gN)\cdot(hN) überein. Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe U einer Gruppe (G,\cdot) ein Normalteiler ist, wenn für alle g,h \in G die Gleichheit (gU)\cdot(hU)= (gh)U gilt.

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.

Die Ordnung der Faktorgruppe G/N ist gerade die Anzahl der Nebenklassen von N. Diese Anzahl wird Index von N in G genannt und mit (G:N) bezeichnet. Ist G eine endliche Gruppe, so gilt nach dem Satz von Lagrange (G:N)=|G/N| = \tfrac{|G|}{|N|}.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel ℤ6[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei \mathbb{Z} die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation und sei 6\Z die Untergruppe von \mathbb{Z}, die aus allen Vielfachen von 6 besteht. Die Gruppe \Z ist abelsch und somit ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Die Faktorgruppe \mathbb{Z}/6\Z besteht nun aus allen Nebenklassen der Untergruppe 6\Z, diese sind:

6\Z+0= \{...,-18, -12, -6, 0, 6, 12, 18,... \}

6\Z+1= \{...,-17, -11, -5, 1, 7, 13, 19,... \}

6\Z+2= \{...,-16, -10, -4, 2, 8, 14, 20,... \}

6\Z+3= \{...,-15, -9, -3, 3, 9, 15, 21,... \}

6\Z+4= \{...,-14, -8, -2, 4, 10, 16, 22,... \}

6\Z+5= \{...,-13, -7, -1, 5, 11, 17, 23,... \}

Dies sind alle Nebenklassen von 6\Z, wie man leicht sehen kann, da sie die Gruppe \mathbb{Z} partitionieren und 6\Z+6=6\Z+0, 6\Z+7=6\Z+1, 6\Z+8=6\Z+2 und so weiter. Da die Operation in \mathbb{Z} die Addition ist, nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition und es gilt beispielsweise (6\Z+3)+(6\Z+4)=6\Z+7=6\Z+1. Schreibt man abkürzend

[0]=6\Z+0,   [1]=6\Z+1,   [2]=6\Z+2,   [3]=6\Z+3,   [4]=6\Z+4,   [5]=6\Z+5,

so besteht \mathbb{Z}/6\Z aus den 6 Elementen [0], [1], [2], [3], [4], [5] und ergibt sich folgende Verknüpfungstabelle für die Faktorgruppe \Z_6

+ [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [0]
[2] [2] [3] [4] [5] [0] [1]
[3] [3] [4] [5] [0] [1] [2]
[4] [4] [5] [0] [1] [2] [3]
[5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]

Damit hat man ein Verfahren mit dem man Untergruppen wie Z_{6} konstruieren kann. Ersetzt man 6 durch eine beliebige ganze Zahl so erhält man:

Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppe (\mathbb{Z}, +) ist eine abelsche Gruppe. Für jedes n \in \mathbb{N} ist (n\mathbb{Z}, +) eine Untergruppe und insbesondere ein Normalteiler von (\mathbb{Z},+). Die Faktorgruppe \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} wird Restklassengruppe modulo n genannt und kurz mit \Z_n bezeichnet. Sie hat genau n Elemente.

Ihre Elemente werden als

[k]_n := [k] := k + n\mathbb{Z} = \{k+m\ :\ m \in n\mathbb{Z}\} = \{k+nz\ :\ z \in \mathbb{Z}\}

geschrieben und heißen Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo n. Es ist also

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}.

Die innere Verknüpfung von \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} wird üblicherweise wieder mit + bezeichnet. In \mathbb{Z} /5\mathbb{Z} gilt beispielsweise

\ [3]_5 + [4]_5 = [3] + [4] = [2] = [2]_5,

da 3 + 4 = 7 = 2 + 5, also (3+4) + 5\mathbb{Z} = 2 + 5\mathbb{Z}.

Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien G und H zwei Gruppen und \varphi: G \rightarrow H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von \varphi ein Normalteiler von G und daher kann die Faktorgruppe G/\ker \varphi gebildet werden. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von \varphi, das eine Untergruppe von H ist.

Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung \pi: G \rightarrow G/H mit g \mapsto gH mit Kern H ist ein Epimorphismus, also ein surjektiver Homomorphismus. Die universelle Eigenschaft besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus \varphi: G \rightarrow G' mit H \subseteq ker(\varphi) genau ein Gruppenhomomorphismus \varphi': G/H \rightarrow G' mit  \varphi = \varphi' \circ \pi existiert.

Beispiel: Sei \pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei \varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} Gruppenhomomorphismus. Dann liegt 6\mathbb{Z} im Kern von \varphi und \varphi': \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} ergibt sich zu:

\varphi'([0]_6) = [0]_3

\varphi'([1]_6) = [1]_3

\varphi'([2]_6) = [2]_3

\varphi'([3]_6) = [0]_3

\varphi'([4]_6) = [1]_3

\varphi'([5]_6) = [2]_3.

Konstruktion von Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch den Übergang zur Faktorgruppe erreicht man, das sämtliche Elemente des Normalteilers auf das neutrale Element abgebildet werden. dadurch kann man das Bestehen gewisser Identitäten erzwingen.

Kommutatorgruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die von allen Kommutatoren erzeugte Gruppe [G,G] ist ein Normalteiler der Gruppe G. In der Faktorgruppe G/[G,G] werden daher alle Kommutatoren trivial, das heißt die Faktorgruppe ist abelsch.

Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner kann man das Bestehen beliebiger Gleichungen (Relationen) in einer Gruppe erzwingen. Kommen in den gewünschten Gleichungen Elemente x_1,\ldots, x_n vor, so betrachte in der freien Gruppe F_n über n Elementen den kleinsten Normalteiler N, der alle Ausdrücke in x_1,\ldots, x_n enthält, die gleich dem neutralen Element sein sollen. Die Faktorgruppe F_n/N leistet das Verlangte. Genaueres entnehme man dem Artikel "Präsentation einer Gruppe".

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]