Fakultät (Mathematik)

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3 6
4 24
5 120
10 3.628.800
20 2,432… · 1018
50 3,041… · 1064
100 9,332… · 10157

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté „Fähigkeit“ dafür einführte.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle natürlichen Zahlen ist

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis definiert. Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diagramm von 0! bis 4!

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Explizite Fakultätswerte von 0 bis 20
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5.040
8! 40.320
9! 362.880
10! 3.628.800
11! 39.916.800
12! 479.001.600
13! 6.227.020.800
14! 87.178.291.200
15! 1.307.674.368.000
16! 20.922.789.888.000
17! 355.687.428.096.000
18! 6.402.373.705.728.000
19! 121.645.100.408.832.000
20! 2.432.902.008.176.640.000

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Permutationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil die Anzahl der Möglichkeiten ist, unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls eine -elementige Menge ist, so ist auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall , da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer Belegungsmöglichkeiten ergeben, usw. Letztlich gibt es also

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine -elementige Teilmenge aus einer -elementigen Menge auszuwählen. Hier ist das beliebteste Beispiel, das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

Möglichkeiten.

Taylorreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Eulersche Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die eulersche Zahl lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

Numerische Berechnung und Näherung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fakultät und die Stirlingformel

Rekursive und iterative Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der numerische Wert für kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist da außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist .

Pythonprogramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umsetzung der Fakultätberechnung in ein Pythonprogramm (in der Programmiersprache Python kann mit beliebig großen ganzen Zahlen gerechnet werden, Grenzen setzt lediglich der verfügbare Speicher).

Auf einem Intel Pentium 4 benötigt zum Beispiel die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

#!/usr/bin/python
# Syntax: Python 3.3.0
n = int(input('Fakultaet von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print(n,'! = ',f,sep='')
#!/usr/bin/python
# Syntax: Python 2.7
n = int(raw_input('Fakultaet von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print n,'! = ',f

Näherung mit der Stirling-Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn groß ist, bekommt man eine gute Näherung für mit Hilfe der Stirling-Formel:

Dabei bedeutet , dass der Quotient aus linker und rechter Seite für gegen konvergiert.

Fakultät-ähnliche Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammafunktion

Die Gammafunktion verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

Faktorielle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen und dar, denn .

Primorial (Primfakultät)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

Subfakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von Elementen.

Doppelfakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich . Für ungerade ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich .

Sie ist definiert als:[1]

Häufig werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt

    und    

Werden nicht ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, so dass für alle ungeraden ganzen Zahlen gilt. Man erhält die Formel für ungerade .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Anzahl der -stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus Elementen wird gegeben durch die Rekursion mit Rekursionsanfang (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt . Sollen z. B. Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch .
  • Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe ist .
  • Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von Elementen ist .
  • Das -te Moment der Standardnormalverteilung ist .
  • Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.

Multifakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (), vierfache (), ..., -fache Fakultät () rekursiv definiert als

[2]

Superfakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff Superfakultät wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet;[3] die eine ist definiert als das Produkt der ersten Fakultäten:

[3]

mit der Barnes’schen Funktion , die andere als mehrfache Potenz einer Fakultät

Hyperfakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hyperfakultät ist für natürliche folgendermaßen definiert:

[4]

Sie kann durch die K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Verwandte Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahlexponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls nicht die vollständige Zahl gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, so lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

Hier steht für den Exponenten von in der Primfaktorzerlegung von .

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Double Factorial. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Multifactorial. In: MathWorld (englisch).
  3. a b Eric W. Weisstein: Superfactorial. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld (englisch).