Fermat-Zahl

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Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form

mit einer ganzen Zahl .

Im August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.[1] Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass die sechste Fermatzahl F5 durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die eine Primzahl ist und vermutet, dass es außer diesen Zahlen auch keine weitere gibt.

Fermat-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten Fermat-Zahlen lauten und .[2]

Eine etwas längere Liste bis findet man in der folgenden aufklappbaren Box.

Wegen hat die Fermatzahl doppelt so viele oder doppelt so viele minus eins Stellen wie ihre Vorgängerin .

Fermatsche Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass nur für mit prim sein kann:

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also jede Fermat-Zahl prim sei, ist falsch. bis sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen:

Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von F5 = 4.294.967.297 fand.[3]

Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fn als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln Fn ≈ 3/2n. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl Fn oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6/2n.

Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 · 10−10 mittlerweile aber sehr klein geworden.

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahlen F0 bis F4 sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

n Fermat-Primzahl
Fn
0 3
1 5
2 17
3 257
4 65537

Die Zahlen F5 bis F11 sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:[4]

Ab F12 ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten drei lauten:

Von F12 bis F32 und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (F20 und F24) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.[6][7]

Für F14 wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht,[8] für F22 am 25. März 2010.[9]

Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F33. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen.

F3.329.780 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 193 · 23.329.782 + 1. Dieser Faktor wurde am 25. Juli 2014 von Raymond Ottusch mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 1.002.367 Stellen. Die Fermat-Zahl F3.329.780 selbst hat allerdings mehr als 4,55997 · 101.002.363 Stellen.

Insgesamt weiß man von 306 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 350 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 12. Dezember 2019).[4][10]

Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 12. Dezember 2019):

Nachgewiesen keine Primzahl
n bekannt
zusammengesetzt
Anteil
05 ≤ n ≤ 32 028 100,0 %
033 ≤ n ≤ 100 031 045,6 %
101 ≤ n ≤ 500 061 015,3 %
0501 ≤ n ≤ 1000 022 004,4 %
1001 ≤ n ≤ 5000 049 001,2 %
05001 ≤ n ≤ 10000 027 000,5 %
TOTAL 218 002,2 %
Nachgewiesen keine Primzahl
n bekannt
zusammengesetzt
Anteil
10001 ≤ n ≤ 50000 35 0,0875 %
050001 ≤ n ≤ 100000 10 0,0200 %
100001 ≤ n ≤ 500000 25 0,0063 %
0500001 ≤ n ≤ 1000000 06 0,0012 %
1000001 ≤ n ≤ 5000000 12 0,0003 %
05000001 ≤ n ≤ 10000000 00 0,0000 %
TOTAL 88 0,0009 %

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65537, 114689, 274177, 319489, 974849, 2424833, 6700417, 13631489, 26017793, 45592577, 63766529, 167772161, 825753601, 1214251009, 6487031809, 70525124609, 190274191361, 646730219521, 2710954639361, 2748779069441, … (Folge A023394 in OEIS)

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.

Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.[11]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für hat jeder Teiler von die Form (bewiesen von Euler und Lucas).
Beispiele:
Der Teiler 641 von F5: 641 = 5 · 27 + 1 = 5 · 128 + 1
Der Teiler 6700417 von F5: 6700417 = 52347 · 27 + 1 = 52347 · 128 + 1
  • Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:
  •  für 
  •  für 
  •  für 
  •  für 
  • Es gelten folgende Darstellungen von :
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )[12]
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
Anders formuliert: Mit Ausnahme von und endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.[13]
  • Sei die -te Fermat-Zahl. Dann gilt:
  • hat unendlich viele Darstellungen der Form mit positiv ganzzahlig, für alle [14]
  • hat mindestens eine Darstellung der Form mit positiv ganzzahlig. Ist zusammengesetzt, gibt es mehrere Möglichkeiten dieser Darstellung.[15]
  • kann niemals als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden, für alle [16]
für alle
  • kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn und p ungerade Primzahlen sind:[17]
für alle
  • Sei die -te Fermat-Zahl und sei die Anzahl der Stellen von . Dann gilt:[18]
wobei mit die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist)
  • Sei die -te Fermat-Zahl mit . Dann gilt:
ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt:
Mit anderen Worten: Für gilt:
Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.
  • Für gilt:[19]
  • Sei , und prim. Dann gilt:[19]
  • Sei eine Primzahl und eine ganze Zahl. Dann gilt für jede prime Fermat-Zahl mit :[20]
teilt
  • Sei . Dann gilt:[21]
für alle
  • Sei eine Primzahl. Dann gilt:[22][23]
  • mit einer positiven ganzen Zahl
Beispiele:
Für erhält man
Für erhält man
Für erhält man (eine 20-stellige Zahl)
Für erhält man (eine 617-stellige Zahl)
Für erhält man (eine 315653-stellige Zahl)
Auch für (eine 41373247568-stellige Zahl) und (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen oder nicht handelt.
Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form gibt, so wäre auch gleichzeitig bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.
  • Sei eine Primzahl. Dann gilt:[23]
  • mit einer positiven ganzen Zahl
  • Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Beweisarchiv).
(Folge A051158 in OEIS)
Sei die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl teilen. Dann gilt:
ist konvergent.
  • Sei der größte Primteiler der Fermat-Zahl . Dann gilt:[28]
für alle  (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).
für mindestens ein (im Speziellen für ).
  • Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:
  • Eine prime Fermat-Zahl ist niemals eine Wieferich-Primzahl.[30] Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:
  • Ein Produkt
von Fermat-Zahlen mit ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).[31]
  • Jede Fermat-Zahl hat im Binärsystem die Form
mit Nullen zwischen den beiden Einsern.[32]

Ungelöste Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist Fn eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
  • Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
  • Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten.)
  • Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone. Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - ... – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Polygonen und den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.[33]

Mit anderen Worten:

Das -seitige regelmäßige Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden
mit und verschiedene Fermatsche Primzahlen

Konkret zeigte Gauß die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilten: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone in denen ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur wenige Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Zahl der konstruierbaren regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt.

Das regelmäßige Polygon mit der bisher größten bekannten ungeraden Eckenzahl ist somit das 4294967295-Eck.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Zahl der Form mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt sind schon über 11719 Faktoren von verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt[34][35] (Stand: 13. August 2018). Davon wurden alleine über 5100 von Anders Björn und Hans Riesel vor 1998 entdeckt.

Ist a = 1, so werden die so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

bezeichnet. Die Zahl b nennt man Basis.

Ist a = 1 und b = 2, so handelt es sich um die schon weiter oben erwähnten Fermat-Zahlen

.

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form . Die beiden Basen und müssen, damit prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man durch den größten gemeinsamen Teiler dividiert, da die Zahl bei ungeradem und immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass sein muss, da man bei das bedenkenlos mit vertauschen kann und somit zum Beispiel ist. Der Fall führt niemals zu Primzahlen, da dann wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen und nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für und (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im Kapitel „Ungelöste Probleme“ erwähnt, dass man noch nicht weiß, ob ab alle weiteren zusammengesetzt sind oder nicht. Ähnlich verhält es sich mit anderen Basen und Hochzahlen. Und obwohl schon über 11000 Faktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen bekannt sind (siehe weiter oben), ist es schwierig, solche Faktoren zu finden, zumal sehr schnell sehr groß wird. Zum Teil weiß man zwar, dass diese Zahlen zusammengesetzt sein müssen, aber Primteiler kennt man von den wenigsten. Bekannt ist, dass solche Primteiler die Form haben müssen. Es folgt eine Auflistung von Primfaktoren kleinerer verallgemeinerter Fermatschen Zahlen inklusive zwei etwas höherer Zahlenbeispiele, anhand derer man erkennen kann, wie schnell die Zahlen sehr hoch werden.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form Fn(b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist b eine gerade Zahl, so kann Fn(b) sowohl zusammengesetzt als auch prim sein.

Beispiel 1:

b = 8, n = 3 ergibt die zusammengesetzte Zahl
.

Beispiel 2:

b = 6, n = 2 ergibt die Primzahl
.

Beispiel 3:

b = 30, n = 5 ergibt die 48-stellige Primzahl
und ist gleichzeitig die kleinste verallgemeinerte Fermatsche Primzahl mit .

Ist b eine ungerade Zahl, so ist Fn(b) als Summe einer Potenz einer ungeraden Zahl (die selbst wieder ungerade ist) und 1 immer eine gerade Zahl, somit durch 2 teilbar und deshalb für b > 1 keine Primzahl, sondern zusammengesetzt. In diesem Fall wird häufig die Zahl

auf ihre Primalität untersucht. Diese Zahlen werden auch halbe verallgemeinerte Fermatsche Zahlen genannt.

Beispiel 4:

b = 3, n = 2 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl
.
Es ist aber
eine Primzahl.

Beispiel 5:

b = 5, n = 3 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl
Es ist aber
eine zusammengesetzte Zahl.

Liste der Primzahlen der Form Fn(b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form (für gerade ) bzw. der Form (für ungerade ) sind in den meisten Fällen zusammengesetzt. Weil diese Zahlen sehr schnell sehr groß werden, sind nicht besonders viele Primzahlen dieser Art bekannt. Es folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form mit konstantem :

Die kleinsten (ab ), für die bzw. erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen und verrät für alle die folgende Liste (der Wert −1 bedeutet „nicht existent“ bzw. „noch keine bekannt“):

0, 0, 0, 0, 0, 2, -1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, -1, -1, 0, 2, 1, 0, 0, -1, 1, 0, 4, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 2, 1, -1, 1, 0, 3, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, ... (Folge A253242 in OEIS)

Mehr Informationen für gerade bis zur Basis gibt es auf der Seite[36].

Nun folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form mit konstantem :