Fermatscher Polygonalzahlensatz

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Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens n-Eckszahlen darstellbar ist. Ein bekannter Spezialfall ist der Vier-Quadrate-Satz, dem zufolge jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann. Ein Beispiel:

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist nach Pierre de Fermat benannt, von dem folgendes Zitat stammt:

»Ich war der erste, der den sehr schönen und vollkommen allgemeinen Satz entdeckt hat, dass jede Zahl entweder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder drei Dreieckszahlen ist; jede Zahl eine Quadratzahl oder die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen ist; entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen; und so weiter bis ins Unendliche, egal ob es ein Frage von Sechsecks-, Siebenecks- oder beliebigen Polygonalzahlen ist. Ich kann den Beweis, der von vielen und abstrusen Mysterien der Zahlen abhängt, hier nicht angeben; deswegen beabsichtige ich diesem Subjekt ein ganzes Buch zu widmen und in diesem Teil arithmetisch erstaunliche Fortschritte gegenüber den vorhergehenden bekannten Grenzen zu erbringen.«[1]

Ein solches Buch hat Fermat jedoch nie veröffentlicht. Joseph Louis Lagrange bewies 1770 den Spezialfall des Vier-Quadrate-Satzes[2] und Carl Friedrich Gauß 1796 (unveröffentlicht, er gab aber Beweise für den Fall der Quadrate und Kubiken in seinen Disquisitiones arithmeticae) und Legendre (1798) den Spezialfall für Dreieckszahlen.[3] Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1815.[4] Der Beweis von Cauchy galt damals als Sensation und machte ihn berühmt.[5]

Beweisstruktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Beweis des Fermatschen Polygonalzahlensatzes werden zunächst die Beweise des Dreieckszahlensatzes sowie des Vier-Quadrate-Satzes vorausgesetzt. Für wird nun das Lemma von Cauchy bewiesen, welches besagt, dass für mit und existieren mit folgenden Eigenschaften:

Mithilfe dieses Satzes kann nun der Fermatsche Polygonalzahlensatz bewiesen werden, indem Bedingungen aufgestellt werden, unter denen die Voraussetzungen des Cauchyschen Lemmas gelten. [6]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola, NY, 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 6.
  2. Joseph Louis Lagrange: Démonstration d'un théoreme d'Arithmétique. In: Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1770. Berlin 1772, S. 123–133.
  3. Am 10. Juli 1796 schrieb Gauß in sein Tagebuch: „EYPHKA num = Δ + Δ + Δ“. Ein Beweis findet sich in Hermann Maser (Hg.): Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über Höhere Arithmetik. Berlin: Springer, 1889, S. 333–334, Art. 293.
  4. Augustin Louis Cauchy: Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones. In: Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l'Institut de France 14 (1813-1815), S. 177–220.
  5. Belhost, Cauchy, Birkhäuser, 1991 S. 46
  6. Melvyn B. Nathanson: A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 99, Nr. 1, 1987, S. 22–24, doi:10.2307/2046263.