Fermatscher Polygonalzahlensatz

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Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens n-Eckszahlen darstellbar ist. Ein bekannter Spezialfall ist der Vier-Quadrate-Satz, dem zufolge jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann. Ein Beispiel:

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist nach Pierre de Fermat benannt, von dem folgendes Zitat stammt:

»Ich war der erste, der den sehr schönen und vollkommen allgemeinen Satz entdeckt hat, dass jede Zahl entweder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder drei Dreieckszahlen ist; jede Zahl eine Quadratzahl oder die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen ist; entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen; und so weiter bis ins Unendliche, egal ob es ein Frage von Sechsecks-, Siebenecks- oder beliebigen Polygonalzahlen ist. Ich kann den Beweis, der von vielen und abstrusen Mysterien der Zahlen abhängt, hier nicht angeben; deswegen beabsichtige ich diesem Subjekt ein ganzes Buch zu widmen und in diesem Teil arithmetisch erstaunliche Fortschritte gegenüber den vorhergehenden bekannten Grenzen zu erbringen.«[1]

Ein solches Buch hat Fermat jedoch nie veröffentlicht. Joseph Louis Lagrange bewies den Spezialfall des Vier-Quadrate-Satzes 1770 und Carl Friedrich Gauß 1796 den Spezialfall für Dreieckszahlen. Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1813.

Beweisstruktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Beweis des Fermatschen Polygonalzahlensatzes werden zunächst die Beweise des Dreieckszahlensatzes sowie des Vier-Quadrate-Satzes vorausgesetzt. Für wird nun das Lemma von Cauchy bewiesen, welches besagt, dass für mit und existieren mit folgenden Eigenschaften:

Mithilfe dieses Satzes kann nun der Fermatsche Polygonalzahlensatz bewiesen werden, indem Bedingungen aufgestellt werden, unter denen die Voraussetzungen des Cauchy’schen Lemmas gelten. [2]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola, NY, 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 6.
  2. Melvyn B. Nathanson: A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 99, Nr. 1, 1. Januar 1987, S. 22–24, doi:10.2307/2046263.