Feuerbachkreis

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Feuerbachkreis

Der Feuerbachkreis oder Neun-Punkte-Kreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte:

  • die Mittelpunkte der Seiten;
  • die Fußpunkte der Höhen;
  • die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte (das sind die Mittelpunkte der Strecken zwischen jeweils einer Dreiecksecke und dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks).

Im Bild rechts sind D, E und F die Seitenmittelpunkte, G, H und I die Höhenfußpunkte, J, K und L die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte und S der Höhenschnittpunkt.

Sonderfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Feuerbachkreis geht genau dann durch eine Ecke des Dreiecks (nämlich den Scheitel des rechten Winkels), wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
  • Der Feuerbachkreis berührt genau dann eine Dreiecksseite (nämlich die Basis), wenn das Dreieck gleichschenklig ist.
  • Der Feuerbachkreis stimmt genau dann mit dem Inkreis überein, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Feuerbachkreis, Inkreis und Ankreise
  • Der Feuerbachkreis berührt den Inkreis des Dreiecks einschließend und die drei Ankreise des Dreiecks ausschließend, diese Eigenschaft wird auch als der Satz von Feuerbach bezeichnet. Der Punkt, in dem sich Feuerbachkreis und Inkreis berühren, wird Feuerbachpunkt des Dreiecks genannt. (Vorsicht: Manche, meist deutsche, Autoren bezeichnen den Mittelpunkt des Feuerbachkreises als "Feuerbachpunkt" und dementsprechend die Existenz des Feuerbachkreises mit den in der Einleitung beschriebenen Eigenschaften als Satz von Feuerbach, siehe dazu z. B. Schupp)
  • Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises liegt genau in der Mitte zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreis­mittelpunkt, also auch auf der Eulerschen Gerade.
  • Der Radius des Feuerbachkreises ist halb so groß wie der Umkreisradius des Dreieckes.
Feuerbachkreis und Umkreis
  • Der Feuerbachkreis halbiert die Strecke zwischen dem Höhenschnittpunkt und einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis.

Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt des Feuerbachkreises ()
Trilineare Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten


Feuerbachpunkt ()
Trilineare Koordinaten

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Deutschland hat sich statt des Namens Neunpunktekreis der Name Feuerbachkreis eingebürgert. Grund dafür ist der von Feuerbach stammende, relativ schwierige Beweis, dass dieser Kreis den Inkreis und die Ankreise berührt. In der übrigen Welt sagt man meistens Neunpunktekreis. Es ist auch die historisch gesehen gerechtere Bezeichnung Eulerkreis verbreitet.

Dass die sechs Punkte D bis I auf einem Kreis liegen zeigte schon Leonhard Euler 1765, das heißt er zeigte dass der durch die Fußpunkte der Höhen G, H, I definierte Kreis auch durch die Mittelpunkte der Seiten E, F, G geht (deshalb auch manchmal Eulerkreis benannt).[1] 1821 bewiesen Charles Julien Brianchon und Jean Victor Poncelet, dass diese sechs Punkte und noch drei weitere Punkte auf dem Kreis liegen, die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte J, K, L. Feuerbach bewies 1822, dass der ursprünglich durch die Fußpunkte G, H, I gehende Kreis die In- und Umkreise berührte und außerdem durch die Seitenmitten E, F, G geht.[2] Die übrigen drei Punkte J, K, L des Feuerbachkreises erwähnt er nicht. Wegen der sechs Punkte D bis I heißt er manchmal auch Sechspunktekreis. Der Feuerbachkreis wird auch manchmal nach Olry Terquem benannt, der selbst dafür 1842 den Begriff Neunpunktekreis prägte und einen analytischen Beweis des Satzes von Feuerbach über die In- und Umkreise gab (und die zusätzlichen drei Punkte wieder entdeckte). Eine weitere Wiederentdeckung des Neunpunktekreises geschah durch Jakob Steiner 1828 und T. S. Davies 1827.[3] J. S. MacKay fand 1892 in seinem Aufsatz zur Geschichte des Neunpunktekreises auch einige englische Autoren, die vor 1821 zur Geschichte des Feuerbachkreises beitrugen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Aufl. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 164–167 (Auszug (Google))
  • Charles S. Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie („Excursions in geometry“, 1969). 3. Aufl. Vieweg Verlag, Braunschweig 1984, ISBN 3-528-28314-9.
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2 (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik), S. 133–135
  • John Sturgeon MacKay: History of the Nine Point Circle. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Band 11, 1892, S. 19–61.[4] Online

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Nine-point circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric Weisstein, Nine point circle, Mathworld
  2. Meyer, Berkhan, Neuere Dreiecksgeometrie, in: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band 3-1-2, 1914, S. 1258
  3. Webseite zur Geschichte nach J. MacKay (Proc. Edinburgh Math. Society, Band 11, 1892, S. 19-57)
  4. Jim Wilson, History of the nine point circle, University of Georgia. Er bezieht sich auf MacKay