Fibonacci-Primzahl

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Eine Fibonacci-Primzahl (engl. Fibonacci prime) ist eine natürliche Zahl, welche zugleich eine Fibonacci-Zahl und Primzahl ist. Fibonacci-Primzahlen sind Gegenstand der Zahlentheorie.[1]

Beispiele für Fibonacci-Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Folge der Fibonacci-Primzahlen beginnt mit folgenden zehn Zahlen (vgl. Folge A005478 in OEIS):[2][3]

In der Literatur werden bis dato als größte bekannte Fibonacci-Primzahlen

genannt[4].

Es handelt sich um außerordentlich große Zahlen. Die Fibonacci-Primzahl etwa ist eine Zahl mit Dezimalziffern.[5]

Primalitätsprüfung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt eine Anzahl von Bedingungen, auf die man bei der Primalitätsprüfung der Fibonacci-Zahlen und ihrer Teilbarkeitseigenschaften zurückgreifen kann[6].

Eine dieser Bedingungen ist die folgende:

Für und ist ein Teiler von dann und nur dann, wenn ein Teiler von ist.[7]

Daraus ergibt sich die folgende Bedingung:

Ist und eine Fibonacci-Primzahl, so ist selbst eine Primzahl.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Viele Fibonacci-Zahlen , deren Index eine Primzahl ist, sind keine Primzahlen. Die drei kleinsten Beispielfälle hierfür sind:

mit
mit
mit

Ungelöstes Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als eines der großen ungelösten Probleme im Zusammenhang mit den Fibonacci-Primzahlen gilt die Frage:

Existieren unendlich viele Fibonacci-Primzahlen?

Der israelische Astrophysiker und Wissenschaftsautor Mario Livio schreibt dazu:[8]

… So, is there an infinite number of Fibonacci primes … ? No one actually knows, and this is probably the greatest unsolved mathematical mystery about Fibonacci numbers.

Die Lösung des Problems gilt nach Ansicht des britischen Mathematikers Richard K. Guy als sehr unwahrscheinlich, er schreibt[9]:

We are very unlikely to know for sure that the Fibonacci sequence …. contains infinitely many primes.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Fred Wayne Dodd: Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit. 3. Auflage. Polygonal Publishing House, Passaic, NJ 1983, ISBN 0-936428-08-2.
  • Mario Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. Broadway Books, New York 2003, ISBN 0-7679-0816-3.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. M. Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. 2003, S. 237.
  2. R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 2004, S. 17–18. und auch Weblink
  3. Der Index gibt die Position der jeweiligen Fibonacci-Primzahl in der Fibonacci-Folge an.
  4. R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 2004, S. 18.
  5. a.a.O.
  6. Siehe etwa F. W. Dodd: Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit. 1983, S. 119 ff.
  7. F. W. Dodd: Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit. 1983, S. 120.
  8. a.a.O.
  9. R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 2004, S. 17.