Finsler-Mannigfaltigkeit

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In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung Riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion so dass für alle gilt:

  • mit Gleichheit nur für
  • für alle
  • .

Hierbei bezeichnet den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt und das Tangentialbündel von , also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls für alle gilt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
  • Riemannsche Mannigfaltigkeiten : setze .
  • Konvexe Mengen mit der Hilbert-Metrik : setze für .

Länge und Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Länge einer rektifizierbaren Kurve ist definiert durch

.

Die Volumenform einer -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei , eine Basis von , die duale Basis. Sei das euklidische Volumen von . Die Volumenform ist dann gegeben durch

,

wobei das euklidische Volumen der Einheitskugel im bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge ist definiert durch .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bao, D.; Chern, S.-S.; Shen, Z.: An introduction to Riemann-Finsler geometry. Graduate Texts in Mathematics, 200. Springer-Verlag, New York, 2000. ISBN 0-387-98948-X
  • Shen, Zhongmin: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing Co., Singapore, 2001. ISBN 981-02-4531-9