Fixpunktiteration

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Eine Fixpunktiteration (oder auch ein Fixpunktverfahren) ist in der Mathematik ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen einer Gleichung oder eines Gleichungssystems. Die Gleichung muss dazu zuerst in eine Fixpunktgleichung, also in eine Gleichung der Form

mit einer Funktion umgeformt werden. Anschließend wird eine Startnäherung gewählt und berechnet. Das Ergebnis wird wieder in die Funktion eingesetzt, und so weiter. Unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen nähert sich die so erhaltene Folge einer Lösung von und somit einer Lösung des ursprünglichen Problems immer weiter an.

Allgemeines Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien eine Funktion , die eine Menge in sich selbst abbildet, sowie ein Startelement . Die durch das zugehörige Fixpunktverfahren erzeugte Folge in ist dann iterativ definiert durch

   für .

Wenn auf der Menge ein Konvergenzbegriff vorhanden ist, kann man sich fragen, ob diese Folge gegen einen Fixpunkt von , das heißt gegen ein mit konvergiert. Der banachsche Fixpunktsatz gibt relativ allgemeine Bedingungen an, unter denen das der Fall ist: Ist ein vollständiger metrischer Raum, also beispielsweise eine abgeschlossene Teilmenge des oder ein Banachraum, und eine Kontraktion, dann existiert in der Menge genau ein Fixpunkt von und die durch das Fixpunktverfahren erzeugte Folge konvergiert für beliebige gegen .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grafische Darstellung der eindimensionalen Fixpunktiteration

Gesucht ist die positive Lösung der Gleichung

.

Durch Logarithmieren erhält man die Fixpunktgleichung

.

Die durch gegebene Iterationsfunktion bildet beispielsweise das Intervall in sich selbst ab und ist auf eine Kontraktion (siehe nebenstehende Abbildung).

Ausgehend vom Startwert ergibt sich für die nächsten Iterationsschritte , , usw. Bei der Näherung nach 20 Schritten stimmen bereits die ersten vier Nachkommastellen mit der exakten Lösung überein.

Ein Satz zur Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine stetig differenzierbare Fixpunktiterationsfunktion mit und für alle aus . Dann existiert genau ein Fixpunkt aus mit .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man setze . Dann ist . Aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass es mindestens eine Nullstelle gibt mit . Gäbe es eine zweite Nullstelle, etwa , dann müsste es wegen nach dem Satz von Rolle einen Punkt aus dem Intervall geben mit , was impliziert im Widerspruch zur Annahme. Also ist der Fixpunkt eindeutig.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Funktion gilt auf :

  • .
  • .
  • für alle .

Daraus folgt mit dem Satz oben, dass in genau einen Fixpunkt besitzt ().

Lineare Fixpunktverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktionsidee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall der Fixpunktiteration sind die Splitting-Verfahren. Um ein lineares Gleichungssystem

mit einer nicht-singulären n×n-Matrix und einem Vektor in eine Fixpunktgleichung umzuformen, zerlegt man die Matrix mit Hilfe einer nicht-singulären n×n-Matrix in

.

Damit folgt

,

wobei die Einheitsmatrix bezeichnet.

Das lineare Gleichungssystem ist dann äquivalent zu der Fixpunktaufgabe mit

.

Man erhält für einen vorgegebenen Startvektor folgendes Iterationsverfahren für

,

und die zugehörige Iterationsmatrix lautet: .

Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem banachschen Fixpunktsatz und weiteren Überlegungen folgt dann, dass diese Fixpunktverfahren genau dann für jeden Startvektor konvergieren, falls der Spektralradius der Iterationsmatrix

.

sollte möglichst klein sein, da dadurch die Konvergenzgeschwindigkeit bestimmt wird.

Spezielle Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf obiger Konstruktionsidee basieren folgende bekannte Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen:

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Iterationsverfahren der Form , k = 0, 1, ... sind

  • linear, d.h. xk+1 hängt linear nur von xk ab,
  • stationär, d.h. M und v sind unabhängig von der Schrittnummer der Iteration,
  • einstufig, d.h. nur der letzte und nicht noch weitere Näherungsvektoren werden verwendet.

Nichtlineare Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Newton-Verfahren kann als Fixpunktiteration betrachtet werden. Allgemein wird die Konvergenz mit Hilfe des banachschen Fixpunktsatzes sichergestellt, die betrachtete Funktion muss also insbesondere im betrachteten Gebiet eine Kontraktion sein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76492-2.