Fluiddynamische Grenzschicht

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die fluiddynamische Grenzschicht, oft auch einfach „Grenzschicht“ genannt, bezeichnet den Bereich in einem strömenden Fluid an einer Wand, in der die Viskosität des Fluids einen Einfluss auf das Geschwindigkeitsprofil senkrecht zur Wand ausübt.

Bei laminarer Strömung und genügend großer Reynolds-Zahl kann im Großteil eines Strömungsfelds die Viskosität des Fluids vernachlässigt werden. Keinesfalls zu vernachlässigen ist jedoch der Einfluss der Viskosität in der Grenzschicht. Die Dicke dieser Grenzschicht ist bei anliegender Strömung zwar sehr klein, in ihr bildet sich aber der Schubspannungswiderstand des umströmten Körpers, der mit dem Druckwiderstand zusammen den gesamten Strömungswiderstand eines Körpers ausmacht. Grenzschichtablösungen, nach denen die Hauptströmung der Wand nicht mehr folgt, haben oftmals unerwünschte, teilweise dramatische Auswirkungen. Die Kenntnis des Verhaltens der fluiddynamischen Grenzschichten ist daher wichtig für die Konstruktion im Flugzeugbau (Tragflügel), Schiffbau (Umströmung des Schiffsrumpfes, des Ruders und der Propellerflügel), Automobilbau (cw-Wert), Windkraftanlagen- und Turbinenbau (Turbinenschaufeln).

Grenzschichttheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grenzschichttheorie ist ein Gebiet der Strömungsmechanik, das sich mit Fluidbewegung in der Nähe von Wänden bei sehr kleiner Reibung beschäftigt. Die Grenzschichttheorie wurde von Ludwig Prandtl im Jahr 1904 bei einem Vortrag auf dem Heidelberger Mathematiker-Kongress eingeführt.[1] Prandtl teilte die Strömung in der Umgebung eines Körpers in zwei Gebiete auf:

  1. eine Außenströmung, in der die viskosen Reibungsverluste vernachlässigt werden können, und
  2. eine dünne Schicht („Grenzschicht“) in der Nähe des Körpers, in der die viskosen Terme aus den Navier-Stokes-Gleichungen (Impulsgleichungen) berücksichtigt werden.

Die Verhältnisse in der Grenzschicht gestatten es die Navier-Stokes-Gleichungen, die die Strömung von Luft und Wasser wirklichkeitsnah beschreiben, wesentlich zu vereinfachen und die resultierenden, sogenannten Grenzschichtgleichungen lassen sich sogar analytisch lösen. Durch die Vereinfachungen wird der Berechnungsaufwand für umströmte Körper (z. B. Flugzeuge, Autos oder Schiffe) erheblich reduziert.

Grenzschicht bei kleinen Reynolds-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für hinreichend kleine Reynolds-Zahlen ist die fluiddynamische Grenzschicht laminar und der Hauptströmung gleichgerichtet. Die in der Grenzschicht vorliegenden besonderen Verhältnisse erlauben den Druckgradienten senkrecht zur Wand zu vernachlässigen: Der Druck ist näherungsweise über die Dicke der Grenzschicht konstant und wird von der Hauptströmung aufgeprägt. Des Weiteren kann die Änderung der Geschwindigkeit in wand-paralleler Richtung gegenüber derjenigen senkrecht zur Wand außer Acht gelassen werden. Anwendung dieser Annahmen in den Navier-Stokes-Gleichungen führt auf die oben erwähnten Grenzschichtgleichungen.

Grenzschichtdicke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausbildung einer laminaren Grenzschicht unter der blauen Linie an einer flachen Oberfläche (untere waagerechte Linie). Rex=v0x/ν ist hier bei jedem x kleiner als Rekrit=5·105.

Betrachtet wird eine in x-Richtung überströmte, ebene Platte wie im Bild, wo die y-Richtung senkrecht zur Platte ist. Direkt am Körper haften die Fluidelemente am Körper (Haftbedingung: v_x(y = 0) = 0) und innerhalb der Grenzschicht gleicht sich ihre Geschwindigkeit an die der Hauptströmung an. Da die Geschwindigkeit allein aufgrund viskoser Reibung theoretisch nie die Umgebungsgeschwindigkeit der Strömung erreichen kann, wird die Dicke \delta dieser „Geschwindigkeitsgrenzschicht“ mit dem Erreichen von 99 % der Umgebungsgeschwindigkeit v_0 definiert:

\delta\colon\quad v_x(y = \delta) = 0{,}99 \cdot v_0

Bei einer ebenen Platte wie im Bild nimmt die Grenzschichtdicke mit der Wurzel des Abstands zur Plattenvorderkante zu:

\delta\simeq\sqrt{\frac{\nu x}{v_0}}\,.

Darin ist ν die kinematische Viskosität (Dimension L2 T –1, Einheit /s) des Fluids.

Andere Maße für die Dicke der Grenzschicht sind

  1. die Verdrängungsdicke δ* oder δ1, die angibt, wie weit die Hauptströmung durch die Grenzschicht von der Körperwand abgedrängt wird, und
  2. die Impulsverlustdicke θ oder δ2, die die Verringerung des Impulsstroms in der Grenzschicht aufgrund von Reibung wiedergibt.

Geschwindigkeitsprofil[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von der Wand bis zum Ende der Grenzschicht (0 \leq y \leq \delta) entspricht das Geschwindigkeitsprofil näherungsweise einer quadratischen Funktion:

v_x(y) \approx v_0 \cdot \left[ 1 - \left( 1 - \frac{y}{\delta} \right) ^2 \right]

In Strömungsrichtung nimmt die Dicke der fluiddynamischen Grenzschicht zu (blaue Kurve in der Abbildung). In Rohren oder Kanälen können die Grenzschichten von den Rändern her zusammenwachsen, womit die laminare Strömung voll ausgebildet und die Geschwindigkeit eine parabolische Funktion des Abstands von der Wand ist.

Reynolds-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Grenzschichtdicke wird die in der Grenzschichtströmung wichtige Reynolds-Zahl


Re_\delta:=\frac{v_0\delta}{\nu}

gebildet. Die Reynolds-Zahl

Re_l:=\frac{v_0 l}{\nu}

nimmt mit der Lauflänge l der Strömung entlang der Wand zu und es ergibt sich:[2]


\frac{\delta}{l}
\simeq
\frac{1}{l}\sqrt{\frac{\nu l}{v_0}}
=
\frac{1}{\sqrt{Re_l}}
\quad\text{und}\quad
Re_\delta
\simeq
\frac{v_0}{\nu}\sqrt{\frac{\nu l}{v_0}}
=
\sqrt{Re_l}
\,.

Nach einer bestimmten Lauflänge entlang einer Platte wird die Grenzschicht instabil und schlägt in den turbulenten Zustand um, siehe unten. Das geschieht bei der kritischen Reynolds-Zahl[3]

Re_\text{krit}=\left.\frac{v_0 l}{\nu}\right|_\text{krit}=5\cdot 10^5\,.

Bei störungsarmer Anströmung kann die Reynolds-Zahl darüber liegen.

Wandschubspannung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Viskosität überträgt das Fluid Impuls auf die Wand, was sich durch die Wandschubspannung τw bemerkbar macht. In Newton’schen Fluiden ist diese von der Größenordnung

\tau_w
=\eta \left.\frac{\partial v_x}{\partial y}\right|_{y=0}
\simeq \eta\frac{v_0}{\delta}
\simeq\eta\frac{v_0}{\sqrt{\frac{\nu l}{v_0}}}
=\sqrt{\frac{\rho \eta v_0^3}{l}}

Der Parameter η=ρ·ν ist die dynamische Viskosität (Dimension M L –1 T –1, Einheit Pa s). Wenn b die Breite und l die Länge einer beidseitig umströmten Platte ist, dann gilt für ihren Schubspannungswiderstand[2]

W= 2 b l \tau_w\simeq b \sqrt{\rho \eta v_0^3 l}
\,.

Zeitmaß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fluidelemente, die nicht zu nahe an der Wand entlang strömen, verbleiben in der Nähe der Wand für eine Zeit, die proportional zu l/v_0 ist. Damit gilt:

\delta\simeq\sqrt{\frac{\nu l}{v_0}}\simeq\sqrt{\nu t}\,.

Diese Gleichung zeigt, dass die Grenzschichtdicke beim Beginn der Bewegung proportional zur Wurzel aus der Zeit t zunimmt.[2]

Grenzschicht bei großen Reynolds-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Übergang von laminarer in turbulente Grenzschicht bei einer Plattenströmung

Bei hohen Reynolds-Zahlen ist die Grenzschichtströmung turbulent, d. h. innerhalb der Grenzschicht können sich die Fluidelemente in jede Richtung bewegen. Die Dicke der Grenzschicht ist gegenüber einer laminaren Grenzschicht aufgedickt, bleibt jedoch eng begrenzt, siehe Bild.

Die Hauptströmung sei laminar. Dann wird nach einer bestimmten Lauflänge der Strömung entlang der Wand die Strömung instabil. Es bilden sich die nach ihren Entdeckern benannten Tollmien-Schlichting-Wellen, deren Wellenfront zunächst senkrecht zur Strömungsrichtung aber wand-parallel verläuft. Stromabwärts überlagern sich diese Wellen mit dreidimensionale Wellen (durch Schraubenlinien angedeutet), wodurch die Wellenfront einen sägezahnförmigen Verlauf annimmt und charakteristische Λ-Wirbel entstehen. Diese Λ-Wirbel zerfallen in Turbulenzflecken (kleine Schneckenlinien), die schließlich zur turbulenten Grenzschicht zusammenwachsen. Die Turbulenz verbessert den Impulsaustausch zwischen den Fluidelementen, weswegen diese in Wandnähe eine höhere, mittlere, wand-parallele Geschwindigkeit \bar{v}_x besitzen als in der laminaren Grenzschicht.

Viskose Unterschicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Wand besitzt – auch unter einer turbulenten Grenzschicht – eine viskose Unterschicht (englisch viscous sublayer), früher auch laminare Unterschicht genannt. Erst wenn die Rauigkeit der Wand diese Unterschicht durchstößt, hat sie einen Einfluss auf die Grenzschicht, den Reibungswiderstand und die Strömung. Wenn die Unterschicht die Rauigkeit hingegen vollständig bedeckt, ist die Wand hydraulisch glatt.

In der viskosen Unterschicht ist die mit der Wandschubspannungsgeschwindigkeit u_\tau gebildete dimensionslose Koordinate kleiner als eins[4]

y^+:=\frac{u_\tau}{\nu}\cdot y < 1

und die zeitlich gemittelte Geschwindigkeit nimmt in der dünnen Unterschicht etwa linear mit dem Abstand zur Wand zu:

\bar{v}_x
=u_\tau\cdot y^+
=\frac{\tau_w}{\eta}\cdot y
\,.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. books.google.de. Abgerufen am 7. Mai 2011.
  2. a b c Oertel (2012), S. 112
  3. Oertel (2012), S. 117
  4. Oertel (2012), S. 128

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Aufl. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5.
  • H. Schlichting, K. Gersten: Grenzschicht-Theorie. 9. Aufl. Springer Verlag, Berlin 1997, ISBN 3-540-55744-X.
  • Götsch, Ernst - Luftfahrzeugtechnik, Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8
  • O. A. Olejnik, V. N. Samokhin: Mathematical models in boundary layer theory. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 1999, ISBN 1-58488-015-5
  • Joseph A. Schetz: Boundary layer analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1993, ISBN 0-13-086885-X

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]