Formale Potenzreihe

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Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den (Grenzwert-)Eigenschaften, liegt.

Gemeinsam ist, dass die Koeffizienten aus einem Ring genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich aus den vollständigen Körpern der reellen resp. komplexen Zahlen besteht.

Ein anderer Unterschied ist, dass die „Variable“ eine Unbestimmte ist, die meist mit Großbuchstaben (oder ) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ nicht zugewiesen wird.

Die im Nullpunkt analytischen Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft differenzierbar sind und dem Koeffizientenvergleich unterliegen.

Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenzreihen findet sich in vielen Computeralgebra-Systemen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen kommutativen Ring mit Einselement bezeichnet den Ring der unendlichen Folgen

mit , der komponentenweisen Addition und der Faltung als Multiplikation,

Die Elemente von heißen formale Potenzreihen und werden als

geschrieben, wobei

ist und in durch die Abbildung

eingebettet wird.

Die Folgenglieder werden Koeffizienten genannt. Vergleiche dazu auch Polynomring.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die formale Potenzreihe, bei der alle Koeffizienten 0 sind, heißt Nullreihe. Sie ist das neutrale Element 0 (der Addition) im Ring .
  • Koeffizientenvergleich: Zwei formale Potenzreihen und sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen:

Weitere Operationen und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koeffizientenextraktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad aus der Potenzreihe in wird geschrieben als

Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden Potenzreihe auf die -te Komponente in mit bei 0 beginnender Zählung. Damit ist

und

.

Bei formalen Potenzreihen ist für definitionsgemäß .

Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

, falls  
, falls  

weist einer Potenzreihe in der Unbestimmten ihre Ordnung in der Unbestimmten zu. Die Ordnung hat eine gewisse Analogie zur Gradfunktion in Polynomringen. So heißt der Koeffizient

, falls  
, falls  

auch Leitkoeffizient.

Es gilt für alle

(Enthält keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler – gilt die Gleichheit.)
  • .

Hierbei gelten für die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:

Für alle gilt und .

Die Funktion

erfüllt alle Forderungen eines nicht-archimedischen Pseudobetrags.

Bei einem Körper wird durch die Ordnung zu einem euklidischen Ring: Es gibt eine Division mit kleinem Rest, bei der der Rest einen kleineren (Pseudo-)Betrag als der Divisor hat.

Multiplikatives Inverses[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Potenzreihe hat genau dann ein multiplikatives Inverses , wenn

invertierbar ist im Ring . Dann ist rekursiv

Division[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Divisor invertierbar, dann ergibt sich der Quotient zweier Potenzreihen und zu

.

Es ist rekursiv:

Damit folgt für die Teilbarkeit in

.

Formale Laurent-Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Quotientenring von ist die Lokalisierung von nach dem Ideal . Er wird Ring der formalen Laurent-Reihen genannt. Er ist ein Körper, wenn ein Körper ist.

Eine formale Laurent-Reihe hat die Form

mit .

Die obige Formel für die Ordnung ist auch für formale Laurent-Reihen gültig. Sie kann bei ihnen ein negatives Ergebnis haben.

Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die formalen Potenzreihen und formalen Laurent-Reihen konvergieren unter der Metrik . Diese Metrik erzeugt die Krulltopologie in den Ringen und .

Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe Laurent-Reihe#Konvergenz von Laurent-Reihen.

Verkettung (Komposition)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine formale Potenzreihe ohne Absolutglied lässt sich in eine andere mit dem Ergebnis einsetzen (mit ihr verketten):

Für die Koeffizienten gilt die Formel

.

Sie sind Polynome in den mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im

Hauptartikel: Formel von Faà di Bruno

Für die Einsetzbarkeit von ist wichtig, dass es keinen konstanten Term (kein Absolutglied) hat, dass also ist. Denn dann hängt nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.

Formale Differentiation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die formale Ableitung der formalen Potenzreihe wird mit oder (wie in der Analysis) mit bezeichnet:

Sie ist eine Derivation, und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung einschließlich der Kettenregel:

.

Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenzreihen wie (unendliche) Taylor-Reihen. Tatsächlich ist für

und

.

Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden.

Ist ein Integritätsring, dann ist

für (nicht-konstante) formale Potenzreihen mit .

Inverses der Komposition (Umkehrfunktion)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat die formale Potenzreihe den Koeffizienten und ist invertierbar in , dann lässt sich das Inverse der Komposition, die (formale) „Umkehrfunktion“, von bilden (s. Lagrangesche Inversionsformel#Taylorreihe).

Ist ein Körper der Charakteristik 0, dann ist die Lagrangesche Inversionsformel:[1][2]

etwas leichter hinzuschreiben. Für formale Potenzreihen ist das Ergebnis dasselbe.

Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:
Ist beliebig, dann ist

Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die Formel von Lagrange-Bürmann) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und Bell-Polynomen.

Zur Konvergenz der so konstruierten Potenzreihen in der Analysis siehe den

Beispiel

Die zu

inverse Reihe ist

,

denn es ist

,

woraus die Behauptung.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ring kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden:
Sei eine kommutative assoziative Algebra über dem kommutativen und unitären Ring . Ist nun ein Ideal von derart, dass die -adische Topologie auf vollständig ist, und ist dann gibt es ein eindeutiges mit den folgenden Eigenschaften:

  • ist ein Homomorphismus von -Algebren
  • ist stetig.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. A. Sokal
  2. J. Hofbauer