Formale Potenzreihe

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Formale Potenzreihen in der Mathematik sind das Analogon der Algebra zu den Potenzreihen der Analysis.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen kommutativen Ring A mit Einselement bezeichne den Ring der Folgen

mit der komponentenweisen Addition und der Faltung als Multiplikation,

Die Elemente von heißen formale Potenzreihen und werden als

geschrieben, wobei

und A in durch die Abbildung

eingebettet wird.

Vergleiche dazu auch Polynomring.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Einheiten von sind genau diejenigen Potenzreihen, deren Absolutglied eine Einheit in ist.
  • Ist ein noetherscher Ring oder ein Integritätsring, so gilt das jeweils auch für .
  • Ist ein Körper, so ist ein vollständiger diskreter Bewertungsring. Er ist die Vervollständigung des Polynomrings bezüglich des Ideals . Sein Restklassenkörper ist , sein Quotientenkörper der Körper der formalen Laurent-Reihen .
  • Umgekehrt ist nach den Struktursätzen von Irving S. Cohen jeder vollständige diskrete Bewertungsring gleicher Charakteristik isomorph zum Ring der formalen Potenzreihen über seinem Restklassenkörper.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ring kann durch die folgende universelle Eigenschaft gekennzeichnet werden:
Sei eine kommutative assoziative Algebra über dem kommutativen und unitären Ring . Ist nun ein Ideal von derart, dass die -adische Topologie auf vollständig ist, und ist dann gibt es ein eindeutiges mit den folgenden Eigenschaften:

  • ist ein Homomorphismus von -Algebren
  • ist stetig.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]