Formale Potenzreihe

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Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den (Grenzwert-)Eigenschaften, liegt.

Gemeinsam ist, dass die Koeffizienten aus einem Ring genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich ein vollständiger Ring ist, meist der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen. Ein anderer Unterschied ist, dass die „Variable“ eine Unbestimmte ist, die oft mit Großbuchstaben (oder ) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ nicht zugewiesen wird. Die im Nullpunkt analytischen Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft differenzierbar sind und dem Koeffizientenvergleich unterliegen.

Wegen der vielen gemeinsamen Eigenschaften und Begriffsbildungen werden die formalen Laurent-Reihen in diesem Artikel mitbehandelt. Die Definitionen und Eigenschaften sind bei den formalen Laurent-Reihen geringfügig komplexer, enthalten aber sehr häufig die formalen Potenzreihen als Spezialfall.

Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen Computeralgebra-Systemen.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formale Potenzreihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen kommutativen Ring mit Einselement (dem Ausgangsring) bezeichnet den Ring der formalen Potenzreihen über in der Unbestimmten . Er ist isomorph zum Ring der unendlichen Folgen

mit , so dass

die zugehörige formale Potenzreihe ist und die Folge der Unbestimmten entspricht.

Der Ring in wird durch die Abbildung

eingebettet.

Die Folgenglieder werden Koeffizienten genannt. Vergleiche dazu auch Polynomring.

Formale Laurent-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Quotientenring von ist die Lokalisierung von nach dem Ideal . Er wird Ring der formalen Laurent-Reihen genannt. Er ist ein Körper, wenn ein Körper ist.

Eine formale Laurent-Reihe kann endlich viele Glieder mit negativem Index haben, sie hat also die Form

mit .

Diese Reihen können in die Menge[1] von unendlichen Folgen eingebettet und auch als

geschrieben werden unter der Vorschrift, dass fast alle Koeffizienten mit negativem Index verschwinden. Der Unbestimmten entspricht die Folge:

Index   0 1

Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

, falls   (die Nullreihe)
, falls  

weist einer formalen Laurent-Reihe in der Unbestimmten ihre Ordnung in der Unbestimmten zu. Das Minimum existiert für , weil es nur endlich viele Indizes mit gibt.

Hierbei gelten für die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:

Für alle gilt und .

Damit lassen sich die formalen Laurent-Reihen als Reihen

mit nach unten beschränkter Ordnung und die formalen Potenzreihen

als solche mit nicht-negativer Ordnung charakterisieren.

Der einfacheren Schreibweise halber nehmen wir generell an, dass ein Koeffizient einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe , falls auf ihn mit einem Index zugegriffen wird, den Wert 0 liefert.

Addition und Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei mit

eine zweite formale Potenz- oder Laurent-Reihe gegeben, dann geschieht ihre Addition

komponentenweise. Dabei ergibt die Summe zweier formaler Potenzreihen wieder eine formale Potenzreihe.

Die Multiplikation

ist eine Faltung. Wieder ergibt das Produkt zweier formaler Potenzreihen eine formale Potenzreihe.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die Ringoperationen Addition und Multiplikation gelten die Gesetze der kommutativen Ringe.
  • Die formale Potenz- oder Laurent-Reihe, bei der alle Koeffizienten 0 sind, heißt Nullreihe. Sie ist das neutrale Element 0 der Addition in beiden Ringen, und .
  • Ein Skalar multipliziert sich wie in der üblichen Skalarmultiplikation. Damit ist 1 die Einsreihe.
  • Koeffizientenvergleich: Zwei formale Potenz- oder Laurent-Reihen und sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten
übereinstimmen.
  • Die Einheiten von sind genau diejenigen formalen Potenzreihen, deren Absolutglied (konstantes Glied) eine Einheit in ist (s. a. den § Multiplikatives Inverses).
  • Ist ein noetherscher Ring, ein Integritätsring oder ein lokaler Ring, so gilt das jeweils auch für .
  • Der Polynomring lässt sich in homomorph (und injektiv) einbetten als ein Ring von Folgen mit nur endlich vielen nicht-verschwindenden Koeffizienten.
    Ist ein Körper, so lässt sich der rationale Funktionenkörper in homomorph (und injektiv) einbetten.
    Es gelten die Einbettungen
mit den Quotientenkörpern in der unteren Zeile.

Operationen und weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koeffizientenextraktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad aus der Potenz- oder Laurent-Reihe in wird geschrieben als

Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden formalen Reihe auf die -te Komponente in . Damit ist

und

.

Bei formalen Potenzreihen ist für definitionsgemäß .

Leitkoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ordnung hat eine gewisse Analogie zur Gradfunktion in Polynomringen. So heißt der Koeffizient

, falls  
, falls  

auch Leitkoeffizient.

Es gilt für alle

(Enthält keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler – gilt die Gleichheit.)
  • .

Die Funktion

erfüllt alle Forderungen eines nicht-archimedischen Pseudobetrags.

Ist ein Körper, dann ist eine (diskrete) Bewertung (ein logarithmisch geschriebener nicht-archimedischer Betrag, engl. valuation) mit dem Ring als dem (oben erwähnten) zugehörigen Bewertungsring. Man erkennt die -adische Topologie wieder, wo das von erzeugte Ideal der Vielfachen von ist. Es ist das zugehörige maximale Ideal und der Restklassenkörper.

Potenzierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist

mit

und rekursiv

    für ,

also beispielsweise

,
,
, ... .

Die sind Polynome in den mit ganzzahligen (multinomialen) Koeffizienten, auch wenn die Rekursionsformel nur dann in einfacher Weise nach aufzulösen ist, wenn und im Ring invertierbar sind. (Für den Fall s. a. den § Komposition.)

Multiplikatives Inverses[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die formale Potenzreihe hat genau dann ein multiplikatives Inverses , wenn das Absolutglied

invertierbar ist im Ring . Dann ist auch

und rekursiv

Ist ein Körper, dann ist eine formale Potenzreihe genau dann invertierbar in , wenn das Absolutglied nicht 0 ist, das heißt, wenn sie nicht durch teilbar ist.

Ist bei der formalen Potenzreihe das Absolutglied oder handelt es sich um eine formale Laurent-Reihe, dann lässt sich bei invertierbarem Leitkoeffizienten die Reihe in über den Zwischenschritt

multiplikativ invertieren – mit dem Ergebnis:

Ist ein Körper, dann ist der Quotientenkörper von .

Division[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Divisor invertierbar in , dann hat der Quotient

zweier Potenzreihen und nach dem Rechenschema

Quotient
Dividend Divisor
  

der in der Monomordnung gespiegelten Polynomdivision rekursiv die Koeffizienten

Der Zwischenschritt im § Multiplikatives Inverses deutet an, wie sich das gezeigte Rechenschema zu einem Divisionsalgorithmus in ausbauen lässt.

Inverses von Polynomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Körper lässt sich der Körper der rationalen Funktionen (Polynomquotienten) der Form

in den Ring in ähnlicher Weise wie in einbetten. Ein wichtiges Beispiel ist

.

Allgemeiner:
Ist

ein von 0 verschiedenes Polynom, dann ist mit der (Leit-)Koeffizient invertierbar in und mit

. Damit ist multiplikativ invertierbar in mit dem multiplikativen Inversen . Das multiplikative Inverse von ist dann

mit den Koeffizienten

Beispiel
Ist , dann ist und für . Die sind also die (um 1 Position verschobene) Fibonacci-Folge und ihre erzeugende Funktion.
Somit ist ein Polynomquotient an seiner Koeffizientenfolge nicht so leicht als rational zu erkennen wie eine rationale Zahl an ihrer periodischen g-adischen Entwicklung.

ist die Vervollständigung des Körpers bezüglich der im § Konvergenz beschriebenen Metrik.

Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine formale Potenzreihe

ist unter der Metrik

.

Grenzwert der Folge von Polynomen mit

.

Das einschlägige Konvergenzkriterium ist ein Cauchy-Kriterium für Folgen, und ist die Vervollständigung des Polynomrings bezüglich dieser Metrik.

Diese Metrik erzeugt die Krulltopologie in den Ringen und .

Zwei Folgen von formalen Laurent-Reihen und haben genau dann denselben Grenzwert, wenn es zu jedem ein gibt, so dass für alle

ist, was nichts Anderes bedeutet, als dass für ausreichend große Indizes die Differenzen von Gliedern der beiden Folgen durch beliebig hohe Potenzen von teilbar sind – kurz: dass die beiden Grenzwerte gleiche Koeffizienten haben.

Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe Laurent-Reihe#Konvergenz von Laurent-Reihen.

Verkettung (Komposition)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine formale Potenzreihe ohne Absolutglied lässt sich in eine formale Potenz- oder Laurent-Reihe mit dem Ergebnis

einsetzen (mit ihr verketten).
Für die Einsetzbarkeit der Potenzreihe ist wichtig, dass sie keinen konstanten Term (kein Absolutglied) hat, dass also ist. Denn dann hängt nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.

Ist eine Potenzreihe, also , dann ist auch eine Potenzreihe, und für die Koeffizienten gilt die Formel

mit und (s. Multiindex#Konventionen der Multiindex-Schreibweise).

Andernfalls, wenn es mit gibt, dann können Potenzen mit negativem Exponenten über das multiplikative Inverse gebildet werden.

Die sind Polynome in den mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im

Formale Differentiation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die formale Ableitung der formalen Potenz- oder Laurent-Reihe wird mit oder (wie in der Analysis) mit bezeichnet:

.

Dabei ergibt die Ableitung einer formalen Potenzreihe wieder eine formale Potenzreihe. Sie ist eine -Derivation, und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung einschließlich der Kettenregel:

.

Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenz- oder Laurent-Reihen wie (unendliche) Taylor-Reihen oder Laurent-Reihen. Tatsächlich ist für

und

.

Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden. Ferner gilt

.

Für Reihen mit     gilt das Gleichheitszeichen.

Formales Residuum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Körper der Charakteristik 0. Dann ist die Abbildung

eine -Derivation, die

erfüllt. Das zeigt, dass der Koeffizient von in von besonderem Interesse ist; er wird formales Residuum von genannt und mit notiert. Die Abbildung

ist -linear, und man hat die exakte Sequenz

.
Ein paar Regeln aus der Differentialrechnung

Für alle gilt:

i. .
ii. .
iii. .
iv. .
v.

Eigenschaft (i) ist Teil der exakten Sequenz.
Eigenschaft (ii) folgt aus (i), wenn auf angewendet.
Eigenschaft (iii): jedes kann als mit und geschrieben werden, woraus Wegen ist invertierbar in woraus folgt.
Eigenschaft (iv): Da kann man mit schreiben. Folglich ist und (iv) folgt aus (i) und (iii).
Eigenschaft (v) folgt direkt aus der Definition.

Inverses der Komposition (Umkehrfunktion)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat die formale Potenzreihe den Koeffizienten und ist invertierbar in , dann lässt sich das Inverse der Komposition, die (formale) Umkehrfunktion, von bilden. Ihre Koeffizienten sind ganzzahlige Polynome in und den .

Etwas schwächer, aber leichter hinzuschreiben, sind die Aussagen:

Ist ein Körper der Charakteristik 0, dann wird die Formel
als eine weitere Version der Lagrangeschen Inversionsformel gehandelt.[2][3]
Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:
Ist beliebig, dann ist

Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die Formel von Lagrange-Bürmann) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und Bell-Polynomen.

Beispiel

Die zu

inverse Reihe ist

,

denn es ist

,

woraus die Behauptung.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ring kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden:
Sei eine kommutative assoziative Algebra über dem kommutativen und unitären Ring . Ist nun ein Ideal von derart, dass die -adische Topologie auf vollständig ist, und ist dann gibt es ein eindeutiges mit den folgenden Eigenschaften:

  • ist ein Homomorphismus von -Algebren
  • ist stetig.

In mehreren Unbestimmten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein kommutativer Ring mit 1, dann sind und kommutative Ringe mit 1 und damit auch rekursiv

und

.

Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der an, m. a. W.: die Ringe aller Permutationen sind isomorph, und man kann jeden Zwischenring als Ausgangsring auffassen.

Allgemein versteht man jede Summe

von Monomen der Form mit ganzzahligen Exponenten als formale Reihe in mehreren Unbestimmten, und zwar als Potenzreihe, wenn alle Koeffizienten mit einer negativen Indexkomponente verschwinden, oder als Laurent-Reihe, wenn es eine untere Schranke mit gibt.

Durch eine Monomordnung ist es möglich, die Monome entsprechend anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe heißt der Totalgrad eines Monoms . Haben die (nichtverschwindenden) Monome einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe alle denselben Totalgrad, so ist sie eine homogene Reihe; bei einer formalen Potenzreihe handelt es sich dann um ein homogenes Polynom.

Beim Operator zur Koeffizientenextraktion

aus der Potenz- oder Laurent-Reihe müssen konstruktionsbedingt alle Monome, in denen die Unbestimmte den Grad hat, als Potenz- oder Laurent-Reihe in den anderen Unbestimmten zusammengefasst werden.

Bei der obigen sukzessiven Bildung von geht die Topologie des Ausgangsrings, hier: , verloren: die Topologie des Teilraums in ist konstruktionsgemäß die diskrete. Man kann aber auch, wenn solches nicht erwünscht ist, das Ergebnis mit dem Produkt der Topologien von und ausstatten. Für Ringe von formalen Laurent-Reihen gilt Entsprechendes.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. die unter der noch zu definierenden Addition eine additive Gruppe ist, bei der die nachfolgende Definition der Multiplikation aber nicht funktioniert
  2. A. Sokal
  3. J. Hofbauer