Formelsammlung Analytische Geometrie

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Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Analytische Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Analytische Geometrie.

Vorbemerkungen zur Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten (gleichwertig zu ), (gleichwertig zu ), (gleichwertig zu ) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch .

Analytische Geometrie der euklidischen Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden habe der Punkt die Koordinaten ; die Punkte in dieser Reihenfolge

Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung eines Punktes

oder

Ortsvektor des Punktes :

Verbindungsvektor zweier Punkte :

Mittelpunkt der Strecke (als Ortsvektor):

Teilungspunkt : Der Punkt, der die Strecke im Verhältnis teilt:

Schwerpunkt eines Dreiecks :

Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit dem Richtungsvektor :

Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und darf nicht der Nullvektor sein.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte :

Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und . und müssen verschieden sein.

Normalengleichung der Geraden durch den Punkt mit dem Normalenvektor in vektorieller Schreibweise:

bzw.

Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung durch den Punkt der -Achse:

Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur -Achse sein.

Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte (auf der -Achse) und (auf der -Achse):

Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss und gelten.

Abstände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abstand der Punkte :

Abstand des Punktes von der Geraden mit der Normalengleichung (siehe Hessesche Normalform):

Abstand zweier paralleler Geraden und mit den Normalengleichungen bzw. :

Projektionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade in Parameterform :

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade in Normalenform :

Parallelprojektion in Richtung eines Punkts auf eine Gerade in Normalenform :

Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnittwinkel (kleinerer Winkel) zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren und (vergleiche Skalarprodukt):

Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fläche des Dreiecks (siehe Kreuzprodukt):

Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken :

Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:

  • des Einheitskreises
  • allgemein: Mittelpunkt in , Radius

in Parameterform (allgemein):

mit

Gleichung des Kreises durch drei Punkte

Gleichung der Kreistangente im Punkt

  • Einheitskreis
  • Allgemein:

Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis :

Mittelpunkt des Kreises durch drei Punkte die nicht auf einer Geraden liegen:

Kegelschnitte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kegelschnitt Ellipse Hyperbel Parabel
Eigenschaften
Definition: Menge aller Punkte, für die … die Summe der Abstände zu den Brennpunkten konstant gleich 2a ist. die Differenz der Abstände den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist. der Abstand zu einem Brennpunkt und der Leitgeraden l konstant ist.
Lineare Exzentrizität --
Koordinaten
Kartesische Koordinaten
Achsenparallele Lage
Parameterform mit
Geraden
Tangente in
Normale durch
Schnittpunkt mit der Geraden











Flächeninhalt

Ebene Kurven mit ausgezeichneter Krümmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die geometrische Form einer ebenen Kurve unter Translation und Drehung invariant bleibt, kann eine ausgezeichnete (symmetrische) Darstellung ihrer analytischen Beschreibung gewählt werden. Insbesondere ist somit jede ebene, zweimal stetig differenzierbare Kurve bereits durch Angabe ihrer Krümmung (in jedem Punkt) eindeutig beschrieben. In den folgenden Formeln sind beliebige, aber feste Konstanten und bezeichnet stets die Bogenlänge (bei natürlicher Parametrisierung).

Kurve Definitionsbereich analytische Funktionsgleichung Krümmung Charakterisierung ihrer Krümmung
Gerade


explizit kartesisch

explizit polar parametrisch
null
Kreis explizit polar konstant
gleichseitige Hyperbel implizit polar umgekehrt proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Lemniskate implizit polar proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Logarithmische Spirale explizit polar

umgekehrt proportional zum Abstand

umgekehrt proportional zur Bogenlänge
Klothoide kartesisch parametrisch proportional zu ihrer Bogenlänge
Katenoide

explizit kartesisch

umgekehrt proportional zum Quadrat
ihres x-Achsenabstandes

Kreisevolvente explizit polar parametrisch umgekehrt proportional zur Wurzel ihrer Bogenlänge

Hier bezeichnen und die Fresnelschen Integrale.

Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden haben die Punkte in dieser Reihenfolge die Koordinaten .

Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung

Ortsvektor

Verbindungsvektor zweier Punkte :

Mittelpunkt der Strecke :

Teilungspunkt , der die Strecke im Verhältnis teilt:

Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken :

Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parametergleichung einer Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit dem Richtungsvektor :

Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und darf nicht der Nullvektor sein.

Ebenen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parametergleichung der Ebene (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit den Richtungsvektoren und :

Die Parameter und können alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren müssen linear unabhängig sein (d. h. und ist kein skalares Vielfaches von )

Parametergleichung einer Ebene (Drei-Punkte-Form) durch die Punkte :

Die beiden Parameter und können alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte und dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Normalengleichung der Ebene durch den Punkt mit dem Normalenvektor in vektorieller Schreibweise:

bzw.

Koordinatengleichung

mit nicht alle gleich 0.

Überführen der Formen ineinander

  • Parameterform in Normalenform:
  • Normalenform und Koordinatengleichung:
    Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Explizit: und .
  • Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:
    definiert drei Gleichungen; man löse eine davon nach und eine andere nach auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein.
  • Von der Koordinatengleichung zur Parameterform:
    Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein. Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz: Da nicht alle gleich 0 sind (sagen wir ), lässt sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflösen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen: . Man findet nun drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene, indem man nacheinander , und einsetzt. D. h. explizit setzt man
    , und
    in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein.

Abstände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abstand der Punkte

Abstand des Punkts von der Geraden in Parameterform :

Abstand des Punktes von der Ebene mit der Normalengleichung (siehe Hessesche Normalform):

Abstand des Punktes von der Ebene in Parameterform :

Abstand der parallelen Ebenen und mit den Normalengleichungen bzw. :

Projektionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade in Parameterform :

Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene in Normalenform :

Parallelprojektion in Richtung eines Punkts auf eine Ebene in Normalenform :

Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnittwinkel (kleinerer Winkel) zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren und :

Schnittwinkel zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor und einer Geraden mit dem Richtungsvektor :

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren und :

Volumina[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumen des Tetraeders (vergleiche Spatprodukt): ()

Kugel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kartesische Koordinaten

  • Einheitskugel:
  • Allgemein: (Mittelpunkt: )

Parameterform (im Ursprung)

mit und

Mittelpunkt der Kugel durch vier Punkte und , die nicht in einer Ebene liegen:

Flächen zweiter Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipsoid mit den Halbachsen , Mittelpunkt im Ursprung, Halbachsen parallel zur bzw. -Achse:

Hyperboloid mit Halbachsen :

Paraboloid mit Scheitel im Ursprung:

Plus liefert ein elliptisches, minus ein hyperbolisches Paraboloid.

Kegel mit Halbachsen der Ellipse, Spitze im Ursprung: