Formelsammlung Geometrie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Bezeichner und Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den allermeisten Fällen gilt:

  1. Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben beschriftet.
  2. Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben beschriftet.
  3. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

Geometrie in der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundlagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nebenwinkel

Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°.
Nebenwinkel.svg

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Scheitelwinkel.svg

Stufenwinkel

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Stufenwinkel.png

Wechselwinkel

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Wechselwinkel.png

Außenwinkel

Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

AussenwinkelAmDreieck.png

Winkelsummen

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180°
Die Summe der Innenwinkel in einem -Eck ist immer
Die Summe der Außenwinkel beträgt in einem konvexen -Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl )

Teilung einer Strecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verhältnisteilung: Um eine Strecke in einem bestimmten Verhältnis (in gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von aus, der nicht parallel zu ist. Auf diesem trage man mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt verbinde man mit und zeichne die Parallelen zu durch die bei der Unterteilung von entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit teilen in gleiche Teile.

Flächen und Umfänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Dreieck mit Standardbezeichnung

Die Standardbezeichnung für Dreiecke:

Eckpunkte
und . Die Ecke ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels.
Seiten
ist die der Ecke gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für und . Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit bezeichnet.
Winkel
ist der (Innen-)Winkel in Ecke , der Winkel in Ecke und der Winkel in Ecke .
Figur Flächeninhalt A Umfang U Bemerkung, Weiteres
Dreieck
Allgemeines Dreieck



Letztere Flächenformel wird als Satz des Heron bezeichnet.
ist der halbe Umfang, der Umkreisradius und der Inkreisradius.
Gleichseitiges Dreieck Alle Seiten sind gleich lang.
Alle Winkel sind gleich groß (60°).
Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale
Gleichschenkliges Dreieck Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel und ); die dritte Seite heißt Basis
Die beiden Basiswinkel ( und ) sind gleich groß.
Die Höhenlinie durch halbiert den Winkel
und die Basis .
Rechtwinkliges Dreieck .
Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel.
Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden.
Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras (s.u.)
Viereck
Quadrat Diagonale
Rechteck Diagonale
Raute (Rhombus) = Diagonalen, = beliebiger Innenwinkel.
Parallelogramm ist die Höhe zur Seite .
Trapez = parallele Seiten, = Mittellinie
symmetrischer Drachen (Deltoid) = Diagonalen.
Sehnenviereck

Viereck mit Umkreis, Umkreisradius ,
halber Umfang; Diagonalen: ,
Tangentenviereck Viereck mit Inkreis mit Inkreisradius .
Es gilt
Polygone
Regelmäßiges Polygon







  • – Anzahl der Ecken
  • – Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke
  • – Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
  • – Kantenlänge einer Seite des Polygons
Kreis
Kreis
Circle-diameter-radius.svg
Es bezeichnet die Kreiszahl.
Kreisring = Außenradius, = Innenradius
Kreisausschnitt
Kreis2.png

b = (Winkel im Bogenmaß)
Kreisabschnitt (Segment)
Kreis3.png
(Winkel im Bogenmaß)
Kegelschnitte
Ellipse

Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant () ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten:
Hyperbel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten:
Parabel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten: .

Dreiecksgeometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgezeichnete Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seitenhalbierende und Schwerpunkt
  • Seitenhalbierende (Schwerlinien)
    • teilen einander im Verhältnis 2:1.
    • schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
    • teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.
Winkelhalbierende und Inkreis
Höhen

Satzgruppe des Pythagoras[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Satz des Pythagoras
    Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten.
    Sind und die Längen der Katheten und die Länge der Hypotenuse, dann gilt:
  • Kathetensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse.
    Mit den Bezeichnungen der untensteheden Zeichnung gilt:
  • Höhensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.
    Mit den Bezeichnungen der untensteheden Zeichnung gilt:
    Right triangle abchpq.svg

Dreiecksungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

  1. drei Seiten (sss)
  2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
  3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
  4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

  1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
  2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
  3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
  4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
  2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte auf jeweils demselben Strahl.

Geometrie der Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Körper Volumen V Oberfläche O Bemerkungen, Weiteres
Prismen
Parallelepiped (Spat)
Parallelepiped.svg
Quader
Quader123.svg
Raumdiagonalenlänge
Allgemeines
Prisma
Mantelfläche
Säulen
Rundsäule (Zylinder)
Hohlzylinder

Außen-,Innenradius

Pyramide
Allgemeine
Pyramide
Pyramidenstumpf Grundfläche
Deckfläche
Kegel
Kreiskegel nur für senkrechte Kegel:
Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe:
gerader Kegelstumpf


Radien
Platonische Körper
Tetraeder
Hexaeder (Würfel) Raumdiagonalenlänge
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
Kugel und Kugelteile
Kugel
Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)
Kugelsegment (Kugelabschnitt) mit
Kugelzone
(Kugelschicht)
mit = Durchmesser des unteren Schnittkreises und = Durchmesser des oberen Schnittkreises
Drehkörper
Ellipsoid Halbachsen a,b,c
Torus

siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri

Trigonometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

siehe: Trigonometrie, Formelsammlung Trigonometrie

Analytische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

siehe: Analytische Geometrie, Formelsammlung Analytische Geometrie