Formelsammlung Geometrie

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\sqrt[n]{x} Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Bezeichner und Schreibweisen[Bearbeiten]

In den allermeisten Fällen gilt:

  1. Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben (A,B,C, \ldots) beschriftet.
  2. Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben (a,b,c, \ldots) beschriftet.
  3. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben (\alpha,\beta,\gamma,\ldots) beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

Geometrie in der Ebene[Bearbeiten]

Grundlagen[Bearbeiten]

Winkel[Bearbeiten]

Nebenwinkel

Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°.
α + β = 180°
Nebenwinkel.svg

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
α = β
Scheitelwinkel.svg

Stufenwinkel

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Stufenwinkel.png

Wechselwinkel

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Wechselwinkel.png

Außenwinkel

Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

AussenwinkelAmDreieck.png

Winkelsummen

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180°
Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)\cdot 180^\circ
Die Summe der Außenwinkel beträgt in einem konvexen n-Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl n)

Teilung einer Strecke[Bearbeiten]

Verhältnisteilung: Um eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis (in n gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von A aus, der nicht parallel zu AB ist. Auf diesem trage man n mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt C verbinde man mit B und zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in n gleiche Teile.

Flächen und Umfänge[Bearbeiten]

Ein Dreieck mit Standardbezeichnung

Die Standardbezeichnung für Dreiecke:

Eckpunkte
A,B und C. Die Ecke C ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels.
Seiten
a ist die der Ecke A gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für b und c. Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit a bezeichnet.
Winkel
\alpha ist der (Innen-)Winkel in Ecke A, \beta der Winkel in Ecke B und \gamma der Winkel in Ecke C.
Figur Flächeninhalt A Umfang U Bemerkung, Weiteres
Dreieck
Allgemeines Dreieck \frac12 gh=\frac12 bc\sin(\alpha)

=\frac{abc}{4R} = k\cdot r

=\sqrt{k(k-a)(k-b)(k-c)}
a+b+c Letztere Flächenformel wird als Satz des Heron bezeichnet.
k ist der halbe Umfang, R der Umkreisradius und r der Inkreisradius.
Gleichseitiges Dreieck \frac14a^2\sqrt{3} 3\cdot a Alle Seiten sind gleich lang.
Alle Winkel sind gleich groß (60°).
Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale
Gleichschenkliges Dreieck \frac{1}{2}c\sqrt{a^2-\frac14c^2} 2a+c Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel a und b); die dritte Seite heißt Basis c
Die beiden Basiswinkel (\alpha und \beta) sind gleich groß.
Die Höhenlinie durch C halbiert den Winkel \gamma
und die Basis c.
Rechtwinkliges Dreieck \frac{1}{2} ab a + b + c \gamma=\alpha+\beta = 90^\circ.
Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel.
Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden.
Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras (s.u.)
Viereck
Quadrat a^2 4\cdot a Diagonale d=a\cdot\sqrt{2}
Rechteck a\cdot b 2\cdot (a+b) Diagonale d=\sqrt{a^2+b^2}
Raute (Rhombus) \frac{1}{2}ef=a^2\cdot\sin(\beta) 4\cdot a e, f = Diagonalen, \beta = Schnittwinkel der Diagonalen.
Parallelogramm a\cdot h_a 2\cdot (a+b) h_a ist die Höhe zur Seite a.
Trapez m\cdot h=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h a+b+c+d a, c = parallele Seiten, m=\tfrac{1}{2}(a+c) = Mittellinie
symmetrischer Drachen (Deltoid) \frac{1}{2} ef 2\cdot (a+b) e, f = Diagonalen.
Sehnenviereck \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

=\frac{e\cdot (ab+cd)}{4R}=\frac{f\cdot(ad+bc)}{4R}
a+b+c+d Viereck mit Umkreis, R Umkreisradius =\frac{1}{4A}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)},
s halber Umfang; e,f Diagonalen: e =\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}},
f=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}
Tangentenviereck r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d) a+b+c+d Viereck mit Inkreis mit Inkreisradius r.
Es gilt a+c=b+d
Polygone
regelmäßige Vielecke \frac{n \cdot r_\mathrm{u}^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}}{2}

= n \cdot r_\mathrm{i}^2 \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}

= \frac{n \cdot l_\mathrm{k}^2 \cdot \cot \frac{180^\circ}{n}}{4}
2\cdot n\cdot r_\mathrm{u} \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}

=2\cdot n\cdot r_\mathrm{i} \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}

= n \cdot l_\mathrm{k}
  • n – Anzahl der Ecken
  • r_u – Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke
  • r_i – Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
  • l_k – Kantenlänge einer Seite des Vielecks
Kreis
Kreis
Circle-diameter-radius.svg
\pi \cdot r^2 = {1\over4} \cdot \pi \cdot d^2 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d Es bezeichnet \pi=3{,}14159\ldots die Kreiszahl.
Kreisring \pi\cdot(R^2-r^2) 2 \cdot \pi \cdot (R + r) R = Außenradius, r = Innenradius
Kreisausschnitt
Kreis2.png
\pi \cdot r^2 \cdot { \alpha \over 360^\circ} = \frac{1}{2} r^2 \cdot \varphi
 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r
\pi \cdot r \cdot { \alpha \over 180^\circ}+2r = r (\varphi + 2) b = \pi \cdot r \cdot { \alpha \over 180^\circ}   = r \cdot \varphi; \quad \varphi= \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ} (Winkel im Bogenmaß)
Kreisabschnitt (Segment)
Kreis3.png
\frac{1}{2} r^2 \cdot ( \varphi - \sin \varphi) r \cdot \left( 2 + \sqrt{2 - 2 \cos(\varphi)} \right) \varphi= \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ} (Winkel im Bogenmaß)
Kegelschnitte
Ellipse \pi a b

=\frac14\pi\cdot D\cdot d
4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\sin t)^2}} \ \mathrm dt=4a \; E(\varepsilon) Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant (2a) ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Hyperbel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
Parabel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten: y^2=2px\, .

Dreiecksgeometrie[Bearbeiten]

Ausgezeichnete Punkte[Bearbeiten]

Seitenhalbierende und Schwerpunkt
  • Seitenhalbierende (Schwerlinien)
    • teilen einander im Verhältnis 2:1.
    • schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
    • teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.
Winkelhalbierende und Inkreis
Höhen

Satzgruppe des Pythagoras[Bearbeiten]

  • Satz des Pythagoras
    Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:
    a^2 + b^2 = c^2\,
  • Kathetensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse (für diese Formel zur unteren Skizze ist a links oben und b rechts oben):
    a^2 = p \cdot c, \ b^2 = q \cdot c
  • Höhensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.
    h^2 = q \cdot p
    Hoehensatz.jpg

Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze[Bearbeiten]

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

  1. drei Seiten z. B. a, b, c = n (sss)
  2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
  3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
  4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

  1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
  2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
  3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
  4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze[Bearbeiten]

  1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
  2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte.

Geometrie der Körper[Bearbeiten]

Körper Volumen V Oberfläche O Bemerkungen, Weiteres
Prismen
Parallelepiped (Spat)
Parallelepiped.svg
G\cdot h 2\cdot(ah_a+bh_b+ch_c)
Quader
Quader123.svg
a\cdot b\cdot c 2\cdot(ab+ac+bc) Raumdiagonalenlänge =\sqrt{a^2+b^2+c^2}
Allgemeines
Prisma
A_G\cdot h 2A_G+A_M\, A_M Mantelfläche
Säulen
Rundsäule (Zylinder) \pi\cdot r^2\cdot h 2\pi r\cdot (r+h)
Hohlzylinder \pi R^2h-\pi r^2h=\,

\pi h(R+r)(R-r)\,
2\pi((R+r)h+R^2-r^2)\, R,r Außen-,Innenradius
M_\text{aussen}=2\pi Rh
M_\text{innen}=2\pi rh
Pyramide
Allgemeine
Pyramide
\frac{1}{3}A_Gh A_G+A_M\,
Pyramidenstumpf \frac13h \left (A_G+\sqrt{A_GA_D}+A_D \right) A_G+A_D+A_M\, A_G Grundfläche
A_D Deckfläche
Kegel
Kreiskegel \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h nur für senkrechte Kegel:
r \cdot \pi \cdot (r + s)
Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe:
s^2 = r^2 + h^2 \,
gerader Kegelstumpf \frac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2) A_G+A_D+A_M\,

=\pi r_2^2+\pi r_1^2+\pi s(r_1+r_2)
s = \mathrm{Mantellinie} =\sqrt{(r_2-r_1)^2+h^2}
r_1,r_2 Radien
Platonische Körper
Tetraeder \frac1{12}a^3\sqrt{2} a^2\sqrt{3}
Hexaeder (Würfel) a^3\, 6\cdot a^2 Raumdiagonalenlänge =a\sqrt{3}
Oktaeder \frac13a^3\sqrt2 2a^2\sqrt{3}
Dodekaeder \frac14a^3(15+7\sqrt{5}) 3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}
Ikosaeder \frac5{12}a^3(3+\sqrt{5}) 5a^2\sqrt{3}
Kugel und Kugelteile
Kugel {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3 = {1 \over 6}\cdot \pi \cdot d^3 4 \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot d^2
Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe) 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h
Kugelsegment (Kugelabschnitt) {h^2 \cdot \pi \over 3} \cdot (3r - h) 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + \rho^2 \pi mit \rho^2 = h \cdot (2r -h)
Kugelzone
(Kugelschicht)
\frac16\pi \cdot h (3 \cdot a^2 + 3 \cdot b^2 + h^2) \pi \cdot (2\cdot r \cdot h + a^2 + b^2) mit 2 \cdot a = Durchmesser des unteren Schnittkreises und 2 \cdot b = Durchmesser des oberen Schnittkreises
Drehkörper
Ellipsoid \frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b\cdot c\, Halbachsen a,b,c
Torus 2\pi^2\cdot R\cdot r^2 4\pi^2\cdot R\cdot r

siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri

Trigonometrie[Bearbeiten]

siehe: Trigonometrie, Formelsammlung Trigonometrie

Analytische Geometrie[Bearbeiten]

siehe Analytische Geometrie, Formelsammlung Analytische Geometrie