Fort-Raum

In der Mathematik ist der Fort-Raum ein spezieller topologischer Raum auf einer unendlichen Menge, der nach Marion Kirkland Fort Jr. benannt ist. Je nach Mächtigkeit der Menge unterscheidet man den abzählbaren und den überabzählbaren Fort-Raum.

Definition

Es sei $X$ eine unendliche Menge und $p\in X$ sei ein fest gewählter Punkt. Nennt man eine Menge offen, wenn sie $p$ nicht enthält oder ein endliches Komplement hat, so ist dadurch eine Topologie auf $X$ erklärt. Der dadurch definierte topologische Raum heißt Fort-Raum.^[1]

Manche Autoren sprechen nur bei überabzählbarem $X$ vom Fort-Raum.^[2]

Eigenschaften

Im Folgenden bezeichne $X$ den Fort-Raum mit dem ausgezeichneten Punkt $p$ , das heißt $X$ ist eine unendliche Menge, auf der die oben beschriebene Topologie erklärt ist. Der Raum hat folgende Eigenschaften:^[1]

Die Menge $\{p\}$ ist nicht offen, da $X$ unendlich ist, aber für jeden von $p$ verschiedenen Punkt $x$ ist $\{x\}$ eine offene Umgebung $x$ . Daher ist die Teilraumtopologie auf $X\setminus \{p\}$ diskret.
$X$ ist ein Hausdorffraum. Seien $x,y\in X$ zwei verschiedene Punkte. Sind beide von $p$ verschieden, so werden sie durch die offenen Mengen $\{x\}$ und $\{y\}$ getrennt, ist einer der beiden gleich $p$ , ohne Einschränkung $x=p$ , so sind $X\setminus \{y\}$ und $\{y\}$ trennende offene Umgebungen.
$X$ ist kompakt, denn jede offene Überdeckung enthält eine offene Menge, die $p$ überdeckt, und diese überdeckt schon alles bis auf endlich viele Punkte.
Da $X$ kompakt ist, ist $X$ normal. Ist $X$ abzählbar, so ist $X$ sogar perfekt normal. Ist $X$ aber überabzählbar, so ist $X$ nicht perfekt normal.
Der Fort-Raum ist vollständig normal.
Der abzählbare Fort-Raum genügt dem ersten und dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom und ist separabel, insbesondere auch metrisierbar. Der überabzählbare Fort-Raum hingegen genügt keinem Abzählbarkeitsaxiom und ist auch nicht separabel, ist also insbesondere nicht metrisierbar.
Der Fort-Raum ist nulldimensional und total separiert aber nicht extremal unzusammenhängend.

$X$ ist die Alexandroff-Kompaktifizierung von $X\setminus \{p\}$ , also eines unendlichen diskreten Raums.^[3] Aus diesem Grunde vergeben manche Autoren keinen speziellen Namen für diesen Raum, sondern sprechen einfach von der Alexandroff-Kompaktifizierung eines diskreten Raums. Insbesondere ist der abzählbare Fort-Raum homöomorph zum Unterraum $\textstyle \{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} ^{>0}\}$ von $\mathbb {R}$ mit 0 als dem ausgezeichneten Punkt.

Siehe auch

Arens-Fort-Raum

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1978, ISBN 0-387-90312-7, S. 52,53, Example 23, 24 Countable/Uncountable Fort Space (englisch).
↑ S. Kohila, B. Komala Durga: Topology. Leilani Katie Publication and Press, 2024, ISBN 978-93-6348206-7, S. 44 (englisch).
↑ K. Morita, J. Nagata: Topics in General Topology. North-Holland, 1989, ISBN 0-444-70455-8, S. 264, 3.15 Example (englisch).

[Steen-1] Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1978, ISBN 0-387-90312-7, S. 52,53, Example 23, 24 Countable/Uncountable Fort Space (englisch).

[Kohila-2] S. Kohila, B. Komala Durga: Topology. Leilani Katie Publication and Press, 2024, ISBN 978-93-6348206-7, S. 44 (englisch).

[Morita-3] K. Morita, J. Nagata: Topics in General Topology. North-Holland, 1989, ISBN 0-444-70455-8, S. 264, 3.15 Example (englisch).

[1]

[2]

[3]