Fortsetzungssatz von Dugundji

Der Fortsetzungssatz von Dugundji (engl. Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula) ist ein Lehrsatz der Allgemeinen Topologie, welcher auf den amerikanischen Mathematiker James Dugundji (1919 – 1985) zurückgeht. Er ist direkt verknüpft mit dem Satz von Tietze-Urysohn über die Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Räume, von dem er in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung darstellt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt :

Gegeben seien ein metrischer Raum $X$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge $A\subseteq X$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum $L$.

Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung $f\colon A\rightarrow L$ eine stetige Fortsetzung auf $X$, also stetige Abbildung $F\colon X\rightarrow L$ mit  $F{{\upharpoonright }A}=f$, welche so beschaffen ist, dass der Bildbereich $F(X)$ von der konvexen Hülle von $f(A)$ umfasst wird.

In etwas abgewandelter, aber gleichwertiger Form lässt sich der Fortsetzungssatz von Dugundji auch so darstellen :

Gegeben seien ein metrischer Raum $X$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge $A\subseteq X$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum $L$ und darin eine konvexe Teilmenge $K\subseteq L$ . Weiterhin sei $f\colon A\rightarrow K$ eine stetige Abbildung.

Dann besitzt   $f$   eine stetige Fortsetzung $F\colon X\rightarrow K$.

Einordnung des Satzes

Der Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert für normale topologische Räume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall, dass der Wertebereich $K$ der zugrundeliegenden stetigen Abbildung $f\colon A\rightarrow K$ ein aus Intervallen von $\mathbb {R}$ zusammengesetzter Produktraum, etwa ein ${\mathbb {R} }^{n}$ , ist. Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage, die jedoch erst dadurch möglich wird, dass statt eines normalen topologischen Raums $X$ ein metrischer Raum $X$ zugrundegelegt wird: Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft.

Literatur

Originalarbeiten

• J. Dugundji: An extension of Tietze's theorem. In: Pacific J. Math. 1. Jahrgang, 1951, S. 353–367. 

Monographien

• Czesław Bessaga, Aleksander Pełczyński: Selected topics in infinite dimensional topology. Warszawa Auflage. Polish Scientific Publishers, 1975. 
• Karol Borsuk: Theory of Retracts. Polish Scientific Publishers, Warszawa 1967. 
• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Boston 1973. 
• Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed point theory. Springer-Verlag, New York [u.a.] 2003, ISBN 0-387-00173-5. 
• Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser Verlag, Basel [u.a.] 1989, ISBN 3-7643-2229-2. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 

Weblink

• Originalarbeit von Dugundji