Foucaultsches Pendel

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Pendel am Nordpol der drehenden Erde[1]
Veranschaulichung der Pendelbahn
Das foucaultsche Pendel im Panthéon, Paris

Ein foucaultsches (auch Foucault’sches) Pendel ist ein langes, sphärisches Pendel mit einer großen Pendelmasse, mit dessen Hilfe ohne Bezug auf Beobachtungen am Himmel die Erdrotation anschaulich nachgewiesen werden kann.

Versuche und Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Am 3. Januar 1851 führte der französische Physiker Léon Foucault im Keller seines Hauses einen Versuch durch, bei dem er ein zwei Meter langes Pendel dicht über dem Boden schwingen ließ und seine Bahn genau markierte. Er beobachtete, dass sich die Schwingungsebene des Pendels langsam drehte. Die Schwerkraft, die nur senkrecht wirkt, konnte diese Drehung nicht verursachen, und keine weitere äußere Kraft wirkte auf das Pendel ein. Also war es nicht das Pendel, sondern der Boden (die Erde), der seine Richtung änderte. Genau genommen beschreibt das Pendel eine enge Rosettenbahn (siehe nebenstehende Abbildung), womit sich die Schwingungsebene des Pendels gegenüber dem Boden langsam dreht.

Am 3. Februar 1851 führte Foucault den Versuch in der Pariser Sternwarte mit einem 12 Meter langen Pendel und am 26. März 1851 im Panthéon mit einem 67 Meter langen Pendel mit einem 28 Kilogramm schweren und 60 Zentimeter Durchmesser umfassenden Pendelkörper der Öffentlichkeit vor. Am unteren Ende des Pendelkörpers befand sich eine Spitze, die mit jeder Schwingung eine Spur in einem Sandbett auf dem Fußboden markierte. Dies war ein laientauglicher und daher aufsehenerregender Nachweis der Erdrotation. Seither wird dieser Versuch foucaultscher Pendelversuch genannt. Ähnliche Beobachtungen machte bereits um 1661 der italienische Physiker Vincenzo Viviani, der sie aber noch nicht mit der Erdrotation in Verbindung brachte.

Die aufsehenerregenden Experimente wurden später vom Naturforscher Caspar Garthe (1796–1876) im Kölner Dom und dem Geodäten, Astronomen und Physiker Friedrich Magnus Schwerd (1792–1871) im Dom zu Speyer wiederholt, allerdings mit qualitativ nicht zufrieden stellenden Ergebnissen. Heike Kamerlingh Onnes führte im Ramen seiner Dissertation von 1879 genaue Messungen durch und wies auf die Fehlerquellen hin, die bei diesen Versuchsanordnungen gestört hatten.[2] Foucaultsche Pendel hängen noch heute in verschiedenen naturwissenschaftlichen Museen. Die Eisenkugel des Original-Pendels wurde bis 1946 im Conservatoire National des Arts et Métiers aufbewahrt und dann dem Panthéon zurückgegeben.[3]

Die Aufhängung des Pendels kann elastisch, kardanisch oder steif erfolgen. Sie darf nur im Mittel über eine Schwingung kein Drehmoment auf die Pendelmasse ausüben, um den verhältnismäßig schwachen Effekt nicht zu verdecken.

Erklärung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die physikalische Erklärung ist, dass sich die Erde aufgrund ihrer Eigenrotation unter der Schwingungsebene des Pendels wegdreht. Die Schwingungsebene selbst bleibt unverändert. Am Nord- oder Südpol würde sie pro Sterntag (23 Stunden, 56 Minuten, 4,091 Sekunden) eine volle Umdrehung zeigen. (Die Differenz von knapp vier Minuten zum Sonnentag resultiert aus dem Umlauf der Erde um die Sonne.) Die beobachtete Drehung erfolgt entgegen dem Sinn der Erdrotation, am Nordpol also rechtsherum (d. h. im Uhrzeigersinn), am Südpol linksherum. Am Äquator hingegen dreht sich die Schwingungsebene des Pendels gegenüber dem Erdboden überhaupt nicht. Je näher man den Polen kommt, desto stärker ist die Drehung.

Aus Sicht eines mit der Erdrotation bewegten Beobachters scheint zusätzlich zur Schwerkraft eine weitere Kraft zu wirken. Diese Scheinkraft ist die sogenannte Corioliskraft, die im Bezug auf ein erdfestes Koordinatensystem auf den Pendelkörper quer zu seiner Bewegungsrichtung einwirkt – auf der Nordhalbkugel nach rechts und auf der Südhalbkugel nach links. Am Äquator bleibt die ablenkende Scheinkraft aus; hier hat die Corioliskraft keine zur Erdoberfläche parallele Komponente. Die Schwingungsebene dreht sich infolgedessen um die Senkrechte durch den Aufhängepunkt mit der Winkelgeschwindigkeit , wobei die Winkelgeschwindigkeit der Erde und die geographische Breite des Aufhängepunktes ist. In Deutschland dauert eine volle Umdrehung zwischen 29,3 Stunden in Flensburg und 32,2 Stunden in München.

Berechnung der Drehbewegung der Pendelebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mathematisches Pendel auf der Erdoberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung verwendetes Koordinatensystem.

Man betrachte ein mathematisches Pendel auf der Erdoberfläche in einem erdfesten Koordinatensystem , das so ausgerichtet ist, dass in Richtung Osten, in Richtung Norden und zum Zenit zeigt. Die Länge dieses Pendels soll viel größer als seine Amplitude sein, sodass in guter Näherung gilt. Dieses Pendel schwingt ohne Beachtung der Corioliskraft harmonisch in der -Ebene mit einer Frequenz von (mit der Erdbeschleunigung ). Seine rücktreibende Kraft ist

.

Das erdfeste Koordinatensystem ist kein Inertialsystem; sie rotiert um ihre eigene Achse. Mit dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erde von und der Drehachse in Richtung Nordpol lautet der Rotationsvektor

,

wobei die geographische Breite ist. Daher wirkt grundsätzlich die Zentrifugalkraft und auf bewegte Körper zusätzlich die Corioliskraft

Die Zentrifugalkraft führt zu einer Abweichung der Erde von der Kugelform (Erdabplattung 21 km) und zu einer Änderung von Richtung und Stärke der allein durch die Gravitation bedingten Beschleunigung; diese Korrektur wird hier in der Rechnung mit bzw. weitgehend berücksichtigt[4]. Ebenfalls führt die Corioliskraft zu einer geringfügigen Abweichung der Erdbeschleunigung, die sich für realistische Pendellängen noch einige Größenordnungen darunter bewegt.

Somit lautet die Bewegungsgleichung der Pendelmasse projiziert auf die -Ebene:

.

Die zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung lassen sich in der komplexen Darstellung lösen. Dazu werden die beiden komplexen Variablen und definiert. Dadurch entkoppeln die Differentialgleichungen zu zwei unabhängigen Gleichungen für und

mit der allgemeinen Lösung

.

Dabei wird die ursprüngliche Frequenz durch die Corioliskraft ein weiteres Mal modifiziert.[5] Die neue Frequenz ergibt sich zu

.

Dieser Beitrag ist für realistische Pendellängen von der Größenordnung unter einem Millionstel Prozent. Auf die Schwingung des Pendels mit dieser Frequenz ist eine zusätzliche Funktion moduliert.

Die Anfangsbedingungen für ein Pendel, das aus einer Startposition losgelassen wird, ohne dass ihm eine Anfangsgeschwindigkeit mitgegeben wird, lauten und .

Bewegungsgleichungen des Pendels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dadurch ergibt sich als Lösung für die Bewegung des Pendels, wieder ausgedrückt in den ursprünglichen Koordinaten:

Um die Bewegung des Pendelkörpers in anderer Form darzustellen, bietet sich die Schreibweise in ebenen Polarkoordinaten an. Es gilt dann

sodass zwei Eigenschaften deutlich werden: Erstens die ursprüngliche harmonische Schwingung, die sich durch ergäbe, und zweitens, dass das von einem Anfangspunkt im Abstand losgelassene foucaultsche Pendel eine Rosettenbahn durchführt.[6][7] Diese führt nicht exakt durch den Ursprung, sondern nähert sich ihm bis auf an. Die Drehung der Apsidenlinie der Bahn pro Schwingung kann durch

berechnet werden. In der nördlichen Hemisphäre dreht sich das focaultsche Pendel somit im Uhrzeigersinn, in der südlichen Hemisphäre entgegen dem Uhrzeigersinn. Eine vollständige Drehung des focaultschen Pendels braucht die Zeit

.

Die Periodendauer ist damit an jedem Ort umgekehrt proportional zur vertikalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit der Erde. In Deutschland dreht sich die Schwingungsebene pro Stunde um etwa .

Galerie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • A. Budo: Theoretische Mechanik. 4. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, § 25 Der Foucaultsche Pendelversuch, S. 122–126.
  • Reiner M. Dreizler, Cora S. Lüdde: Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-70558-9, S. 311 ff.
  • William Duncan MacMillan: On Foucault's Pendulum. In: American Journal of Mathematics. Band 37, Nr. 1, 1915, S. 95–106, doi:10.2307/2370259, JSTOR:2370259.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Foucault’sches Pendel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Für die Darstellung des einfachen Falls mit gleich bleibender Schwingungsebene gehört der Aufhängungspunkt des Pendels genau über den Nordpol.
  2. Kamerlingh Onnes, Heike: Nieuwe Bewijzen voor de aswenteling der aarde. Wolters, Groningen 1879, S. 1–312 (niederländisch, gdz.sub.uni-goettingen.de [abgerufen am 16. März 2018] Titel in Deutsch: "Neue Beweise für die Achsdrehung der Erde").
  3. History Of The Pantheon Paris auf pantheonparis.com
  4. A. Budo: Theoretische Mechanik. 4. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, § 24 Bewegungen auf der rotierenden Erde, S. 119.
  5. William J. Noble: A Direct Treatment of the Foucault pendulum. In: American Journal of Physics. Nr. 20, 1952, S. 334–336 (edu.tw [PDF]).
  6. T. J. I'A. Bromwich: On the Theory of Foucault's Pendulum, and of the Gyrostatic Pendulum. In: Proceedings of the London Mathematical Society. s2-13, Nr. 1, 1914, S. 222–235, doi:10.1112/plms/s2-13.1.222.
  7. W. S. Kimball: The Foucault Pendulum Star Path and the n-Leaved Rose. In: American Journal of Physics. Band 13, Nr. 5, 1945, S. 271–277, doi:10.1119/1.1990726.