Freies Produkt

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In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu Abelschen Gruppen.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat man eine Familie von (beliebigen) Gruppen gegeben, so besteht das freie Produkt aus der Menge aller endlichen Wörter wobei folgende Konventionen gelten sollen:

  • Jedes Element ist vom Einheitselement in verschieden.
  • und sind nicht aus derselben Gruppe.

Wörter, die diese Bedingungen erfüllen, nennt man reduziert. Das leere Wort soll dabei auch als reduziert gelten.

Durch die Anwendung der folgenden beiden Regeln kann man von einem beliebigen Wort stets zu einem eindeutig bestimmten reduzierten Wort übergehen:

  • Sind und aus derselben Gruppe, also , dann ersetze man die beiden Elemente durch das Produkt der beiden in der Gruppe.
  • Ist das neutrale Element von , so streiche man es aus dem Wort.

Auf der Menge der reduzierten Wörter zusammen mit dem leeren Wort als Einheitselement kann man nun eine Gruppenstruktur definieren. Man definiert das Produkt durch Hintereinanderschreiben

und gegebenenfalls Übergang zu einem reduzierten Wort durch Anwendung obiger Regeln.

Jede Gruppe kann man als Untergruppe in ansehen, indem man mit der Menge der Wörter, die nur aus einem Element und dem Einselement bestehen, identifiziert.[1]

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist

eine Familie von Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus , so dass für alle die Identitäten

gelten. Dabei ist die oben beschriebene Identifikation von mit der entsprechenden Untergruppe im freien Produkt (Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das direkte Produkt: Das freie Produkt erfüllt genau die duale universelle Eigenschaft und ist demzufolge ein Beispiel für ein Koprodukt).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind und topologische Räume, und betrachtet man die Einpunktvereinigung (engl. wedge) der beiden Räume, das heißt, wählt man je einen Punkt in jedem Raum aus und „klebt“ die beiden Räume an diesen beiden Punkten zusammen, so ist die Fundamentalgruppe des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:
.
Der Satz von Seifert und van Kampen verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).
  • Das freie Produkt von mit sich selbst, das heißt , ist isomorph zur von 2 Elementen erzeugten freien Gruppe. Topologisch ergibt sie sich nach Obigem als Fundamentalgruppe einer Einpunktvereinigung von zwei Kreisen, das heißt einer Acht.
  • Allgemeiner gilt: Das freie Produkt freier Gruppen ist wieder eine freie Gruppe, dabei addieren sich die Mächtigkeiten der Erzeugendensysteme.[2]
  • .[4] Die rechte Seite ist dabei die Faktorgruppe aus der speziellen linearen Gruppe mit Koeffizienten aus nach ihrem Zentrum.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Free Products of Groups
  2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example I
  3. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example II
  4. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example III