Freies Produkt

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In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu Abelschen Gruppen.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat man eine Familie von (beliebigen) Gruppen gegeben, so besteht das freie Produkt aus der Menge aller endlichen Wörter wobei folgende Konventionen gelten sollen:

  • ist vom Einheitselement in verschieden.
  • und sind nicht aus derselben Gruppe.

Wörter, die diese Bedingungen erfüllen, nennt man reduziert. Das leere Wort soll dabei auch als reduziert gelten.

Durch die Anwendung der folgenden beiden Regeln kann man von einem beliebigen Wort stets zu einem eindeutig bestimmten reduzierten Wort übergehen:

  • Sind und aus derselben Gruppe, also , dann ersetze man die beiden Elemente durch das Produkt der beiden in der Gruppe.
  • Ist das neutrale Element von , so streiche man es aus dem Wort.

Auf der Menge der reduzierten Wörter zusammen mit dem leeren Wort als Einheitselement kann man nun eine Gruppenstruktur definieren. Man definiert das Produkt durch Hintereinanderschreiben

und gegebenenfalls Übergang zu einem reduzierten Wort durch Anwendung obiger Regeln.

Jede Gruppe kann man als Untergruppe in ansehen, indem man mit der Menge der Wörter, die nur aus einem Element und dem Einselement bestehen, identifiziert.[1]

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist

eine Familie von Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus , so dass für alle die Identitäten

gelten. Dabei ist die oben beschriebene Identifikation von mit der entsprechenden Untergruppe im freien Produkt (Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das direkte Produkt: Das freie Produkt erfüllt genau die duale universelle Eigenschaft und ist demzufolge ein Beispiel für ein Koprodukt).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und topologische Räume, und betrachtet man die Einpunktvereinigung (engl. wedge) der beiden Räume, das heißt, wählt man je einen Punkt in jedem Raum aus und „klebt“ die beiden Räume an diesen beiden Punkten zusammen, so ist die Fundamentalgruppe des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:

.

Der Satz von Seifert und van Kampen verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).


Das freie Produkt von mit sich selbst ist das Produkt . Ein Element in ist ein Wort , mit und . Dabei sollen die Indizes nur die beiden Exemplare von unterscheiden. Dieses freie Produkt tritt als Fundamentalgruppe einer Einpunktvereinigung von zwei Kreisen auf, einer Acht. Ein weiteres Exemplar von in der Fundamentalgruppe lässt sich durch weiteres Anhängen eines Kreises an die Acht erzeugen. Fundamentalgruppen von Graphen lassen sich so leicht als freies Produkt von (möglicherweise unendlich vielen) Exemplaren von bestimmen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Free Products of Groups