Schnittprinzip

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Dieser Artikel befasst sich mit dem Schnittprinzip in der Mechanik. Für das Schnittprinzip im Gartenbau, siehe Schnitt (Gartenbau).
Abb. 1: Freikörperbild einer Kartoffel. Als äußere Kräfte wirken die Kräfte F1 und F2 sowie die Flächenlast p1 auf den Körper. Die inneren Kräfte ΔF sind nur am kleinen Oberflächenstück ΔA eingezeichnet.

Das Schnittprinzip (englisch free-body principle, principle of intersection[1]) ist eines der grundlegenden Prinzipien der Mechanik. Durch das Freischneiden wird ein Objekt gedanklich aus seiner Umgebung herausgelöst und so einer Analyse zugänglich gemacht. Auf diese Weise wird das Objekt[2] und zumeist gleichzeitig auch die an den entstandenen Kontaktflächen auftretenden Wechselwirkungen mit der Umgebung definiert.

Die interessierenden Einflüsse heißen Schnittgrößen, für die in der Mechanik Schnittreaktionen, Schnittkräfte und -momente sowie Schnittspannungen in Frage kommen, siehe Abb. 1. Das Objekt kann in der Mechanik ein Starrer Körper, Festkörper, eine Flüssigkeit, ein Gas oder ein System aus solchen sein.

Geschichtlich war es Francis Bacon, der um 1600 als erster meinte, man müsse die Natur zerschneiden, um Naturerscheinungen analysieren zu können.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Notwendigkeit der Zerlegung geht nach Georg Hamel auf Francis Bacon, 1. Baron Verulam, zurück:

„das Prinzip der Zerlegung […] blieb den Alten ganz verborgen, erst der große englische Naturphilosoph Bacon of Verulam sprach es um 1600 aus: 'Man müsse die Natur zerschneiden.' Als Ganzes wären uns fast alle Naturerscheinungen unverständlich, sie wären so kompliziert und mannigfaltig, daß der Mensch bald jeden Versuch eines Verständnisses aufgeben müßte.“

Georg Hamel[3]

H. Bertram zitiert Isaac Newton mit:

„Auch NEWTON schreibt bereits 1687 (S. 380):

'Ferner lernen wir aus den Erscheinungen, daß sich wechselseitig berührende Teilchen getrennt werden können.'“

H. Bertram[4]

Diese Erkenntnis schlug sich in Newtons Prinzip Actio und Reactio nieder.

Leonhard Euler entwickelte darauf aufbauend 1752 das Schnittprinzip, um ausgedehnte (auch deformierbare oder flüssige) Körper behandeln zu können: Wird ein beliebiger Teil eines Körpers in Gedanken herausgeschnitten, befolgt er für sich die newtonschen Gesetze der Mechanik, wobei die auf ihn wirkenden Kräfte die sind, die der restliche Körper an den Schnittflächen auf ihn ausübt (zuzüglich eventueller äußerer Kräfte wie Gewichtskraft etc.).[5]

Augustin-Louis Cauchy wandte dieses Schnittprinzip erfolgreich auch auf mechanische Spannungen an, die über die Schnittflächen verteilt sind. Entsprechend wird dieses Schnittprinzip auch als Spannungsprinzip von Euler-Cauchy bezeichnet.[6]

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die mechanischen Wechselwirkungen finden immer zwischen materiellen Körpern oder den Teilchen, aus denen sie bestehen, statt. Drückt z. B. ein Teilchen T1 auf ein anderes T2 mit einer Kraft F, so tritt die Kraft F gleichzeitig auch an T1 als Wirkung von T2 auf, und zwar als eine Druckkraft in Richtung des Teilchens T1.

Beide Kräfte sind nach dem Prinzip „Actio und Reactio“ immer entgegengesetzt gleich groß.

An einem gegen andere Massen abgegrenzten System von Massen, sind zwei Arten von Kräften zu unterscheiden: Zum Einen gibt es die inneren Kräfte, die zwischen jeweils zwei zum System gehörenden Massen wirken und daher immer paarweise entgegengesetzt auftreten. Zum Anderen gibt es die äußeren Kräfte, die zwischen jeder Systemmasse und einer sich außerhalb des Systems befindenden Masse wirken und die daher am System nur einmal auftreten. In der Summe heben sich die inneren Kräfte immer paarweise auf, so dass nur die äußeren Kräfte stehen bleiben.[7]

Anwendung in der Kontinuumsmechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 2: Eine Scheibe mit herausgeschnittenem Klötzchen

Aus Sicht der Kontinuumsmechanik kann das gesamte Universum als ein Kontinuum mit mehr oder weniger festen Bestandteilen angesehen werden. Die daraus hervor gehenden Theorien sind jedoch formal aufwendig und werden für die meisten, lokalen Untersuchungen nicht benötigt.[4] Stattdessen werden materielle Körper im Allgemeinen mit Hilfe des Schnittprinzips eingeführt.[2] Aus dem Kontinuum wird durch Vorgabe einer Begrenzung der Körper herausgeschnitten, wodurch das Kontinuum in den Körper und seine Umgebung zerlegt wird. Die Begrenzung ist weitestgehend beliebig und kann der jeweiligen Aufgabenstellung angepasst werden.

Die inneren und äußeren Wechselwirkungen sind im Kontinuum immer flächig oder räumlich verteilt und werden, falls nötig, über entsprechende Gebiete zu Resultierenden integriert.

Es können auch, wie in Abb. 2, (infinitesimal) kleine Teilkörper herausgelöst werden, um Bewegungsgleichungen der materiellen Punkte des Körpers herzuleiten, siehe beispielsweise Seilstatik und Cauchy-Eulersche Bewegungsgesetze. Insbesondere das Cauchy’sche Fundamentaltheorem zeigt die unbegrenzte Anwendbarkeit des Schnittprinzips in der Kontinuumsmechanik.[8]

Anwendung in der Technik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der technischen Mechanik und Baustatik interessieren beim Freischneiden vor allem die resultierenden inneren Schnittreaktionen, die sich aus Schnittkräften und -momenten zusammensetzen. Aus deren Größe kann dann bei linearer Elastizität auf die mechanischen Spannungen geschlossen werden, die für die Dimensionierung von Objekten ausschlaggebend sind.

Lageplan und Freischneiden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 3: Lageplan des mechanischen Systems mit Schnittführung (rot) an dem vom Seil gehaltenen Fass auf der Rampe

Freischneiden oder Freimachen von Körpern (oder einem System von solchen) ist in der Technischen Mechanik der gedankliche Vorgang, mit dem die am Körper angreifenden Kräfte und Momente sichtbar gemacht werden.[9]

Ausgangspunkt ist der Lageplan des Körpers in seiner Umgebung, siehe Abb. 3. Der Lageplan zeigt die räumliche Anordnung des betrachteten Systems und enthält in der Regel bereits Hinweise auf wirkende Kräfte, in Abb. 3 beispielsweise auf die Schwerebeschleunigung g. Im Lageplan wird die Schnittführung eingezeichnet und zwecks Zuordnung gekennzeichnet.

Der Schnitt trennt den Körper an allen Stütz-, Verbindungs oder sonstigen Berührungsstellen zu nicht interessierenden Körpern der Umgebung. Die Grenze zur Umgebung muss geschlossen sein, wobei durch die Luft laufende Teile der Schnitte in der Festkörpermechanik – wie auch in Abb. 3 – nicht immer gezeichnet werden. Der Freischnitt erfolgt immer am Originalsystem mit Umgebung, denn in bereits freigeschnitten Körpern können schon vereinfachende Annahmen eingeflossen sein.

Der Körper wird anschließend entlang der Schnittführungen in Gedanken von der Umgebung gelöst. Lager, Gewichte, die Rampe in Abb. 3 und andere um das System angeordnete Körper, die eine Kraft oder ein Moment ausüben, werden durch diese Kräfte oder Momente ersetzt. Bestandteile des Systems, die keinen Einfluss auf die Kräfteverhältnisse haben, wie die Stufe im Abb. 3, werden entfernt. Der Körper hat nach diesem Vorgang keine „Berührung“ mehr zur Umgebung, ihre Wechselwirkung mit dem Körper wurde vollständig durch die äußeren Kräfte und Momente ersetzt.

Dabei ist zu beachten:

  • Fest verbundene Stäbe, Balken und andere feste Körper übertragen Kräfte und Momente.
  • Seile, Ketten, Treibriemen und ähnliche biegeschlaffe Strukturen übertragen nur Zugkräfte in Seilrichtung. Durch Rollen werden solche Seilkräfte umgelenkt, bei Reibungsfreiheit ändert sich dabei ihr Betrag nicht.
  • Ein Pendelstab, der an beiden Enden gelenkig gelagert ist, überträgt nur Zug- und Druckkräfte entlang seiner Achse.
  • Gelenke übertragen – je nach Typ – einige Kräfte und Momente nicht. Andere Kräfte und Momente können aber – je nach Typ – übertragen werden.
  • Kontaktkräfte an glatten, reibungsfreien Flächen wirken immer senkrecht zu den Flächen.
  • Genauso üben Flüssigkeiten und Gase ihren statischen Druck immer senkrecht zu den benetzten Flächen aus.
  • Reibkräfte wirken immer tangential zur Kontaktfläche entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung des Körpers, an dem sie angreifen.

Dem Freischneiden wird in der Lehre der Statik eine große Bedeutung beigemessen.[10] Es gilt ein Auge dafür zu entwickeln, welche Einflüsse auf das betrachtete mechanische System vorkommen und welche dabei relevant sind oder vernachlässigt werden können. Bei komplexeren Baugruppen kann es notwendig sein, mehrere Teilkörper freizuschneiden.

Ziel des Freischneidens ist das Freikörperbild des betrachteten Systems.

Freikörperbild[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 4: Freikörperbilder des Systems aus Abb. 3 für den Fall der Abwärtsbewegung des Fasses.

Das Resultat des Freischneidens ist ein vereinfachtes Modell des Systems, das mit einem oder mehreren Freikörperbildern oder Schnittbildern skizziert wird. Das Freikörperbild illustriert die interessierenden Körper und die auf sie wirkenden Kräfte und Momente. Wenn ein Körper in Gedanken an einer beliebigen Stelle durchgeschnitten wird, so wie das Seil in Abb. 3 und 4, dann treten die inneren Kräfte (F in Abb. 4) und Momente hervor. Diese werden auch als Schnittreaktion (Schnittkraft oder -moment) bezeichnet. Am Freikörperbild lassen sich Zusammenhänge zwischen Kräften und Momenten sowie Kraftverläufe im System erkennen und ablesen. Entsprechend dienen Freikörperbilder der Berechnung der unbekannten Reaktionskräfte und inneren Kräfte, die die Körper belasten.

Zur Orientierung erhält die Zeichnung ein Koordinatensystem und in dynamischen Systemen kann es Sinn machen, die Bewegungsmöglichkeiten der Körper durch Vektoren anzuzeigen. All diese Bestandteile werden zwecks eindeutiger Benennung beschriftet. In den verschiedenen Disziplinen (Baustatik, Maschinenbau, Punktmechanik) gibt es unterschiedliche Arten der Darstellung und Interpretation der Zeichen in den Skizzen.

Mit dem Lösungsfortschritt kann es vorkommen, dass neue Einsichten erlangt werden und sich das Freikörperbild dementsprechend verändert.

Abbildung der Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 5: In der Dynamik können Körper als Punktmassen dargestellt werden

Das Freikörperbild ist eine Prinzipskizze, bei der es auf maßstabgerechte Darstellung nicht ankommt. Die einzelnen Körper werden skizziert, wobei Arme und Säulen durchaus zu Linien reduziert und ausgedehnte Körper – wie in Abb. 5 – auf Punkte zusammengezogen werden. Bei komplexen Bauteilen mit vielen Teilkörpern ähnelt ein Freikörperbild einer Explosionszeichnung und es ist eine Sache der Geschicklichkeit, das Freikörperbild übersichtlich zu gestalten.

Abbildung der Kräfte und Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 6: Darstellung einer Kraft F, Momenten M und T sowie einer Streckenlast q

Kräfte werden als Pfeile, Streckenlasten als miteinander verbundene Pfeile und Momente als Doppelpfeile oder als um eine Drehachse gebogene einfache Pfeile dargestellt, siehe Abb. 6. Weil die relative Position der Kraftangriffspunkte und die Wirkungslinien der Kräfte für ein Kräftesystem von Belang sind, müssen die Angriffspunkte und ihre relativen Positionen aus dem Freikörperbild ersichtlich sein. Beim Eintrag der Kräfte muss bedacht werden, ob nur ermittelt werden soll, ob der Körper im Gleichgewicht ist, ob die Körper deformierbar sind oder als starr angenommen werden dürfen. Bei letzteren und allgemein bei Gleichgewichtsfragen dürfen Momente frei und Kräfte entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden. Bei der Ermittlung von Beanspruchungen und Deformationen dürfen die Kraftangriffspunkte nicht verlegt werden.

Schnittufer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein Körper in Gedanken an einer beliebigen Stelle durchgeschnitten wird, so treten die Kräfte und Momente in seinem Inneren hervor. Durch den Schnitt entstehen zwei Schnittufer an denen Schnittreaktionen (Schnittkräfte oder -momente) angreifen. An gegenüberliegenden Schnittufern treten die Schnittreaktionen nach dem Prinzip „Actio und Reactio“ immer paarweise auf und sind entgegengesetzt gleich groß, so dass sie sich nach Beseitigung des Schnitts gegenseitig auslöschen würden, siehe auch Abb. 1 am Beginn des Artikels. In Abb 4 ist die Seilkraft F eine solche innere Schnittkraft, die am Seilstück im Bildteil a und mit umgekehrter Richtung am Fass im Bildteil b angreift.

Nicht darzustellendes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Freikörperbild ist nur eine von mehreren Zeichnungen, die für die Lösung mechanischer Systeme erstellt werden. Die folgenden Merkmale von Systemen sollen in ihren Freikörperbildern ausdrücklich nicht vorkommen:

Nicht zum betrachteten System gehörende, insbesondere „weggeschnittene“ Körper.
Die von ihnen ausgeübten Kräfte sind bereits eingetragen. Es besteht die Gefahr, Kräfte doppelt zu berücksichtigen.
Neben-, Rand- und andere Zwangsbedingungen sowie Lager.
Stattdessen sind die entsprechenden Zwangskräfte einzutragen.
Kräfte und Momente, die der Körper auf seine Umgebung ausübt.
Weil diese Kräfte und Momente nach dem Prinzip Actio und Reaction entgegengesetzt gleich groß sind zu denen, die auf den Körper ausgeübt werden, würden sich alle Kräfte und Momente auslöschen. Es gäbe keine eingeprägten Kräfte mehr.
Innere Kräfte und Momente.
Diese treten nur an Schnittflächen auf. Ohne Schnitt im Körper eingetragene innere Kräfte lassen befürchten, dass sie als eingeprägte Kräfte missverstanden werden.

Diese ausgeschlossenen Details können bei Bedarf in anderen ergänzenden Zeichnungen abgebildet werden.

Provisorische Zeichnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bisweilen werden vereinfachend die Kräfte in den Lageplan eingezeichnet, wie die Bilder unten zeigen. Der Sinn der eingetragenen Kräfte ist anschaulich dargestellt und es ist wenig wahrscheinlich eine Reaktionskraft zu übersehen oder zuviel einzutragen.

Die Lager sollten nicht sichtbar sein
Das weggeschnittene Seil und die Rolle sollten nicht dargestellt werden.
Die Auftriebskräfte B ersetzen den hydrostatischen Druck des Wassers, das demnach nicht abgebildet sein sollte

Es tritt jedoch die Gefahr auf, dass die Lagerreaktionen im linken Bild, die Seilkräfte im mittleren und die Auftriebskräfte im rechten Bild als eingeprägte Kräfte interpretiert werden und beim (nochmaligen, korrekten) Freischneiden doppelt gezählt werden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Haupt (2002), S. 75
  2. a b H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer, 2012, ISBN 3-642-24119-0, S. 71.
  3. Georg Hamel: Elementare Mechanik. Ein Lehrbuch. Teubner, Leipzig und Berlin 1912, DNB 580933865, S. 5 (archive.org [abgerufen am 1. Dezember 2016]).
  4. a b H. Bertram: Axiomatische Einführung in die Kontinuumsmechanik. Wissenschaftsverlag, 1989, ISBN 3-411-14031-3, S. 67 f.
  5. Otto Bruns, Theodor Lehmann: Elemente der Mechanik I: Einführung, Statik. Vieweg, Braunschweig 1993, S. 92 (google.de [abgerufen am 1. Dezember 2016]).
  6. Hans Georg Hahn: Elastizitätstheorie. Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme. Springer Fachmedien Wiesbaden, Berlin, Heidelberg 1985, DNB 850225965, S. 16 (google.de [abgerufen am 1. Dezember 2016]).
  7. H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5, S. 15.
  8. Haupt (2002), S. 91
  9. Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik. 18. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2006, ISBN 3-486-58010-8.
  10. Romberg, Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik. 6. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0396-2, S. 5 f.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik. 18. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2006, ISBN 3-486-58010-8, S. 99 (google.com [abgerufen am 9. Februar 2013]).
  • István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5301-9 (google.de [abgerufen am 3. Dezember 2016]).
  • Alfred Böge: Technologie / Technik. für Fachgymnasien und Fachoberschulen. 5. Aufl. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-528-44075-6, S. 5 f. (google.de [abgerufen am 5. Januar 2017]).
  • Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A Wall: Technische Mechanik. Band 3: Kinetik. Springer DE, 2008, ISBN 978-3-540-68422-0, S. 191 f. (google.com [abgerufen am 5. Januar 2017]).
  • P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2002, ISBN 978-3-642-07718-0.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]