Frobeniushomomorphismus

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Der Frobeniushomomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen, deren Charakteristik eine Primzahl ist. Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Frobeniusendomorphismus eines Rings[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein kommutativer unitärer Ring mit der Charakteristik , wobei eine Primzahl ist. Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung

bezeichnet. Sie ist ein Ringhomomorphismus.

Ist , dann ist auch

ein Ringhomomorphismus.

Beweis der Homomorphieeigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung ist verträglich mit der Multiplikation in , da aufgrund der Potenzgesetze

gilt. Ebenso gilt Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in verträglich, das heißt, es gilt . Mit Hilfe des Binomialsatzes folgt nämlich

Da eine Primzahl ist, teilt zwar aber nicht für . Da die Charakteristik deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten

teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten in der obigen Formel. Die Addition vereinfacht sich zu

und ist verträglich mit der Addition in . Dieser Zusammenhang wird im englischsprachigen Raum als Freshman's Dream, der Traum des Anfängers, bezeichnet.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden ist stets eine Primzahl und eine Potenz von . Alle vorkommenden Ringe oder Körper haben Charakteristik .

  • Nach dem Kleinen Satz von Fermat ist auf dem Restklassenring die Identität. Allgemeiner: Ist ein endlicher Körper, dann ist die Identität.
  • Ist ein Körper, dann ist .
  • Ist eine Erweiterung endlicher Körper, dann ist ein Automorphismus von , der elementweise fest lässt. Die Galoisgruppe ist zyklisch und wird von erzeugt.
  • Ist ein Ring, dann ist genau dann injektiv, wenn keine nichttrivialen nilpotenten Elemente enthält. (Der Kern von ist .)
  • Ist ein Ring und ist bijektiv, dann heißt der Ring perfekt (oder vollkommen).[1] In einem perfekten Ring besitzt jedes Element eine eindeutig bestimmte -te Wurzel. Perfekte Körper zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine inseparablen Erweiterungen besitzen.
  • Der perfekte Abschluss eines Rings lässt sich als induktiver Limes darstellen:
  • Die Additivität der Abbildung wird auch in der Artin-Schreier-Theorie ausgenutzt.

Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Körpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Annahmen dienen dazu, sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung algebraischer Zahlkörper als auch lokaler Körper zu beschreiben. Sei ein Dedekindring, sein Quotientenkörper, eine endliche Galoiserweiterung, der ganze Abschluss von in . Dann ist ein Dedekindring. Sei weiter ein maximales Ideal in mit endlichem Restklassenkörper , außerdem und . Die Körpererweiterung ist galoissch. Sei die Galoisgruppe von . Sie operiert transitiv auf den über liegenden Primidealen von . Sei die Zerlegungsgruppe, d.h. der Stabilisator von . Der induzierte Homomorphismus

ist surjektiv.[2] Sein Kern ist die Trägheitsgruppe.

Es sei nun unverzweigt, d.h. . Dann ist der Homomorphismus ein Isomorphismus. Der Frobeniusautomorphismus (auch Frobeniuselement) ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus unter . Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert:

Weil auf den Primidealen über transitiv operiert, sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen konjugiert, so dass ihre Konjugationsklasse durch eindeutig festgelegt ist. Falls die Erweiterung abelsch ist, erhält man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus .

Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung für die Klassenkörpertheorie: In der idealtheoretischen Formulierung wird die Reziprozitätsabbildung von der Zuordnung induziert. Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes. Ferdinand Georg Frobenius hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet, deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt.[3]

Absoluter und relativer Frobenius für Schemata[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Primzahl und ein Schema über . Der absolute Frobenius ist definiert als Identität auf dem topologischen Raum und -Potenzierung auf der Strukturgarbe. Auf einem affinen Schema ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben, wie man an den globalen Schnitten ablesen kann. Dass die Primideale fest bleiben, übersetzt sich in die Äquivalenz .

Sei nun ein Morphismus von Schemata über . Das Diagramm

kommutiert und induziert den relativen Frobeniusmorphismus

der ein Morphismus über ist. Ist das Spektrum eines perfekten Rings , dann ist ein Isomorphismus, also , aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus über .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mit ist (über ), und der relative Frobenius ist in Koordinaten gegeben durch:
  • Ist , dann ist , wobei bedeuten soll, dass die Koeffizienten in die -te Potenz erhoben werden. Der relative Frobenius wird von induziert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist ganz, surjektiv und radiziell. Für lokal von endlicher Präsentation ist genau dann ein Isomorphismus, wenn étale ist.[4]
  • Wenn flach ist, besitzt die folgende lokale Beschreibung: Sei eine offene affine Karte von . Mit der symmetrischen Gruppe und setze . Die Multiplikation definiert einen Ringhomomorphismus , und durch Verkleben von erhält man das Schema .[5]

Satz von Lang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Satz von Serge Lang besagt: Sei ein algebraisches oder affines zusammenhängendes Gruppenschema über einem endlichen Körper . Dann ist der Morphismus

treuflach. Ist algebraisch und kommutativ, ist also eine Isogenie mit Kern , die Lang-Isogenie. Ein Korollar ist, dass jeder -Torsor trivial ist.[6]

Beispiele:

  • Für erhält man den Artin-Schreier-Morphismus.
  • Für erhält man die Aussage, dass jede zentrale einfache Algebra vom Rang über einem endlichen Körper eine Matrizenalgebra ist, für alle zusammengenommen also den Satz von Wedderburn.

Frobenius und Verschiebung für kommutative Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Schema und ein flaches kommutatives Gruppenschema. Die obige Konstruktion realisiert als Unterschema des symmetrischen Produkts (falls dieses existiert, andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von arbeiten), und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhält man einen kanonischen Morphismus , die Verschiebung. Der Name kommt daher, dass die Verschiebung bei Wittvektoren die Abbildung

ist.

Es gilt:[7]

(Multiplikation mit in der Gruppe bzw. ).
  • Ist ein endliches flaches kommutatives Gruppenschema, dann vertauscht die Cartier-Dualität Frobenius und Verschiebung:

Eine endliche kommutative Gruppe über einem Körper ist genau dann

  • vom multiplikativen Typ, wenn ein Isomorphismus ist.
  • étale, wenn ein Isomorphismus ist.
  • infinitesimal, wenn für groß.
  • unipotent, wenn für groß.

Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von und ist der Ausgangspunkt der Dieudonné-Theorie.

Beispiele:

  • Für konstante Gruppen ist und .
  • Für diagonalisierbare Gruppen ist und .
  • Für ist der gewöhnliche Frobeniushomomorphismus für Ringe . (Da der Frobeniusmorphismus ohne Rückgriff auf die Gruppenstruktur definiert ist, ist die Inklusion mit ihm kompatibel.) Die Verschiebung ist trivial: .
  • Ist eine abelsche Varietät über einem Körper der Charakteristik (allgemeiner ein abelsches Schema), dann ist die folgende Sequenz exakt, wenn jeweils für den Kern des entsprechenden Morphismus steht:[8]

Arithmetischer und geometrischer Frobenius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Schema über , weiter ein algebraischer Abschluss von und . Der Frobeniusautomorphismus wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt, der inverse Automorphismus geometrischer Frobenius. Weil über definiert ist, ist , und der relative Frobenius ist . Es gilt (auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius)

Ist eine konstante Garbe auf , induziert die Identität auf der Kohomologie von , so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente und der geometrische Frobenius dieselbe Wirkung haben.[9]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
  • Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 978-0-7204-2034-0.
  • Pierre Gabriel: Exposé VIIA. Étude infinitesimale des schémas en groupes. In: Michel Demazure, Alexander Grothendieck (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1962-1964 (SGA 3): Schémas en groupes. Tome 1: Propriétés générales des schémas en groupes. Springer, Berlin 1970, ISBN 978-3-540-05180-0.
  • Christian Houzel: Exposé XV. Morphisme de Frobenius et rationalité des fonctions L. In: Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois-Marie 1965-66 (SGA 5): Cohomologie l-adique et Fonctions L (= Lecture Notes in Mathematics). Band 589. Springer, Berlin 1977, ISBN 3-540-08248-4.

Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. V §1 Definition 2 in: Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics. Algebra II. Chapters 4-7. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-00706-7.
  2. Lang, VII §2
  3. Peter Stevenhagen, Hendrik Lenstra: Chebotarëv and his density theorem. In: Mathematical Intelligencer. Band 18, Nr. 2, 1996, S. 26–37. Die Originalarbeit ist: Georg Ferdinand Frobenius: Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1896, S. 689–703.
  4. Houzel, §1 Proposition 2
  5. Gabriel, 4.2
  6. Demazure-Gabriel, III §5, 7.2. Die Originalarbeit ist: Serge Lang: Algebraic Groups Over Finite Fields. In: Amer. J. Math. Band 78, Nr. 3, 1956, S. 555–563.
  7. Demazure-Gabriel, II §7
  8. Proposition 2.3 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online).
  9. Houzel, §2 Proposition 2