Gâteaux-Differential

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Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion offene Menge, die an der Stelle differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

.

Insbesondere ergibt sich für das bekannte Differential

.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weierstraßsche Zerlegungsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei mit offen und normierte Räume. Dann heißt in Gateaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion existiert, sodass

für alle mit . Dies ist äquivalent zu:

Dann bezeichnet man als die Gateaux-Ableitung von im Punkt .

1. Variation; Variationsableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich ein in definiertes Funktional; sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm ) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei und . Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle in Richtung , falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach :

oder auch für durch

Man beachte dabei , und ebenfalls darin, aber .

Die Gâteaux-Ableitung nach ist bezüglich der Größe ein Funktional, das auch als 1. Variation von an der Stelle bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet, und statt der Größe schreibt man meist , mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung führt man in einem Zusatzschritt die sogenannte Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form mit der Variationsableitung

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall . So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier , das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. Variation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Halbseitiges Differential und Richtungsableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

beziehungsweise durch

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von an der Stelle genannt. Für die zum Vektor gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von in Richtung an der Stelle .

Gâteaux-Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein in stetiges, lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch ist homogen, additiv und stetig im Argument ), dann heißt Gâteaux-Ableitung an der Stelle . und Gâteaux-differenzierbar in .

Eigenschaften der 1. Variation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet

    für alle . Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.
  • Das Gâteaux-Differential ist nicht linear. Im allgemeinen Fall gilt also

    Für ein Beispiel, dass das Gâteaux-Differential nicht linear ist, betrachte für und , wobei , dann ist
    .
    Die Funktion ist nicht linear. Es gilt zum Beispiel .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. , falls , bzw sonst .
  2. für und für ,

(wobei )

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei offen, linearer normierter Raum, (das Innere der Menge ), und der offene Ball um mit Radius . Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei ein lokales Minimum von auf , dann ist , falls das einseitige Gâteaux-Differential in existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: besitze in eine 2. Variation und . Falls gilt und für ein und , dann ist strenge lokale Minimalstelle von auf .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]